3. Vonalintegrálok

Question 1

MAJORÁNS

Answer 1

g fv. majoránsa f fv.-nek. ha g int.ható és |f| =< |g| majdnem mindenhol (és ekkor |f| és f is int.ható.

Question 2

IMPROPRIUS INTEGRÁL

Answer 2

Ha nem igaz, hogy f≥0, akkor előfordulhat, hogy f (és |f|) nem integrálható Lebesgue-értelemben sem ∞-ig, de létezik a lim(R→∞) ∫(0,R) f(x)dx határérték, akkor az integrál improprius.

Question 3

LEBESGUE-TÉTEL

Answer 3

Ha majdnem minden x-re igaz, hogy az integrál f_n(x)-eknek létezik pontonkénti határértéke, f(x) és van olyan int.ható g(x), amin |f_n| =< |g| teljesül minden n-re, akkor az ∫(R) dx f_n(x)-eknek, azaz az f_n-ek integráljainak sorozata konvergens, f(x) is int.ható és ∫(R) f(x)dx = lim(n—> ∞) ∫(R) f_n(x)dx.

Question 4

Komplex vonalintegrál?

• Görbék darabolása, uniója?
• Komplex integrál becslése?
• f(z) = z^n körintegrálja?

Answer 4

Komplex vonalintegrál értelmezése:
∫(γ)f(z)dz = ∫(t1,t2) f(z(t))dz(t)/dtdt

A paraméterezett (áttérés valós ÉT-re) integrál komplex értékű, valós ÉT-ú, a [t1;t2] szakaszra vett vonalintegrál, eredménye komplex szám.

• Ugyanúgy van, mint valósban: irányítás megcserélése –1-szerest eredményez, és ellentétes irányítású érintkező görbeszakaszok kiejtik egymást.
• Komplex integrál eredménye abszolútértékben nem nagyobb, mint a görbehossz szorozva az integrandus abszolútértékének a görbén vett maximumával.
|∫(γ) f(z)dz| =< l(γ)*max|f(z)|
• 0, ha n ≠ –1 és 2πi, ha n = –1 (azaz f(z) = 1/z esetén). A z pontot eltolva ugyanez igaz lesz.

Question 5

Komplex Newton-Leibniz-formula?

• Útfüggetlenség?
• Zárt görbére?

Answer 5

Ha az F: C —> C fv. legalább a γ görbe egy környezetén mindenhol folytonosan diff.ható:
∫(γ) dz F’(z) = F(z_b) – F(z_a), ahol a görbe z_a-tól z_b-ig fut.

• F-nek bármely két z_a kezdő- és z_b végpontú görbére ugyanannyi az integrálja.
• Ha γ zárt görbe és F folytonosan diff.ható γ egy környezetén: ∮ dz F’(z) = 0

Question 6

CAUCHY-TÉTEL

• Másképp? (Azaz komplex vonalintegrál útfüggetlensége?)
• F definiálása?
• A tartományra vonatkozó feltétel?

Answer 6

Ha f: C—>C egy egyszeresen összefüggő nyílt halmazon diff.ható, akkor z ebben futó árt görbékre: ∮ dz f(z) = 0.

• Nem zárt görbékre f vonalintegrálja csak a kezdő- és végponttól függ.
• Ilyenkor biztosan van olyan F(z), amire F’(z) = f(z), így F definiálható mint: F(z) = ∫(_z0^z) ds f(s)
• A tartományra vonatkozó feltétel itt erősebb, mint a Newton-Leibniz-formulánál (ebből pl. nem következik, hogy ∮dz 1/z^2 = 0, mivel 1/z^2 ÉT-a nem egyszeresen összefüggő).