Comment additionner deux vecteurs u=[u₁,u₂,u₃] et v=[v₁,v₂,v₃] ?
u+v=[u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃]
Formule du produit scalaire en coordonnées ?
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
Lien produit scalaire–angle ?
u·v = ‖u‖‖v‖ cosθ
Formule de l’angle θ entre deux vecteurs ?
θ = arccos((u·v)/(‖u‖‖v‖))
Critère d’orthogonalité (perpendicularité) de u et v ?
u·v = 0
Critère de parallélisme de u et v ?
u = k·v pour un certain réel k
Un vecteur perpendiculaire à [a,b] dans ℝ² ?
[-b, a] (ou [b, -a])
Définition de combinaison linéaire (ex. avec v,w) ?
u = a·v + b·w pour certains réels a, b
Vecteur unitaire de u ≠ 0 ?
û = u/‖u‖
Projection orthogonale de u sur v ?
proj_v(u) = ((u·v)/(‖v‖²)) v
Colinéarité / alignement de trois points A,B,C ?
A, B, C alignés ⇔ AB ∥ AC
Cosinus directeurs d’un vecteur u=(u₁,u₂,u₃) et identité associée ?
cosα = u₁/‖u‖, cosβ = u₂/‖u‖, cosγ = u₃/‖u‖ ; cos²α + cos²β + cos²γ = 1
Norme du produit vectoriel ?
‖u×v‖ = ‖u‖‖v‖ sinθ
Aire du parallélogramme engendré par u et v ?
Aire = ‖u×v‖
Produit mixte (triple scalaire) ?
u·(v×w)
Volume du parallélépipède défini par u, v, w ?
V = |u·(v×w)|
Définition d’une base orthonormée ?
Trois vecteurs unitaires deux à deux perpendiculaires
Formes d’un nombre complexe (cartésienne et polaire) ?
z = a + bi et z = r cis θ (avec cis θ = cosθ + i sinθ)
Passage cartésienne → polaire : r et θ ?
r = √(a² + b²), θ = atan2(b, a) ; aussi cosθ = a/r, sinθ = b/r
Passage polaire → cartésienne ?
a = r cosθ, b = r sinθ
Module et unité imaginaire ?
|z| = √(a² + b²), i² = −1
Conjugué en cartésienne et en polaire ?
z̄ = a − bi ; en polaire z̄ = r cis(−θ)
Produit de deux complexes (a+bi)(c+di) ?
(ac − bd) + i(ad + bc)
Produit en forme polaire ?
(r₁ cis θ₁)(r₂ cis θ₂) = (r₁r₂) cis(θ₁ + θ₂)
