Definieren Sie Risiko!
Risiko = relevante Ergebnis ist eine Zufallsvariable mit bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Zufallsvariable: Verteilung bekannt; relevante Ergebnis schwankt; Risiko weder positiv noch negativ
- relevantes Ergebnis:
- abh. vom Vermögen des Entscheiders;
- Entscheidung abh. von der Zielfunktion
• Risiko ist subjektiv, weder pos noch neg
Skizzieren Sie Dominanz und Effizienz unter Risiko
- Dominanz: Zahlung ist dominant, wenn sie bzgl mind. einem Ziel besser und aller anderen Ziele gleich bzw. nicht schlechter gestellt ist
- Effizienz:
- Zahlungsstrom ist effizient, wenn er nicht von einem anderen dominiert wird;
- Effizienz benötigt keine Eintrittswahrscheinlichkeiten, sondern kann mit Unsicherheit umgehen
Beschreiben Sie die unterschiedlichen Formen von Risikoeinstellungen! Wie lassen sie sich voneinander unterscheiden?
- Risikoaversion (negativ) = positive Risikoprämie verlangt → Sicherheitsäquivalent < EW
- Risikofreude (positiv) = negative Risikoprämie verlangt → Sicherheitsäquivalent einer Verteilung > EW
- Risikoneutralität (neutral) = keine Risikoprämie verlangt → Sicherheitsäquivalent einer Verteilung = EW
• Sicherheitsäquivalent = sichere Zielbetrag, der der WS Verteilung gleichwertig ist
→ Entscheider ist indifferent zwischen Sicherheitsäquivalent und WS Verteilung
• [Erwartungswert:] ◦ E(R) = P(R1)R1 + P(R2)R2 + …
◦ Alternative mit höherem Erwartungswert wird als besser angesehen
◦ vernachlassigt Schwankungen
Charakterisieren Sie das Risikomaß Varianz!
- Var(R) = E((R-E(R)) ^2) = (R1-E(R))^2R1 + (R2-E(R))^2R2 + …
- Standardabweichung: Std(R) = Wurzel Var(R)
- Risiko wird mittels der Varianz operationalisiert
- bei Risikoaversion Alternative mit geringerer Varianz/Standardabweichung besser angesehen
- bewertet Abweichungen vom Erwartungswert als negativ
- kann indifferente Alternativen nicht aussortieren
Charakterisieren Sie das Risikomaß Lower Partial Moments!
• bewertet Abweichungen einer Referenzgröße z.B. E(X) nach unten negativ, nach oben nicht
◦ → LPM0: Unterschreitungswahrscheinlichkeit
(bei Risikoaversion Alternative mit geringerem Wert besser)
◦ → LPM1: Erwartungswert der Unterschreitung
( bei Risikoaversion Alternative mit geringerem Wert besser)
◦ → LPM2: Varianz der Unterschreitung
( Referenzwert = Erwartungswert → LPM2 heist Semi-Varianz; bei Risikoaversion Alternative mit geringerem Wert besser)
Charakterisieren Sie das Risikomaß Value at Risk!
VaR ist der maximale Verlustbetrag gemessen zu einem bestimmten Zeitpunkt t mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p innerhalb eines bestimmten Zeitraums, der den VaR nicht überschreiten wird
Alternativen mit niedrigerem VaR besser.
Wie lässt sich der VaR basierend auf Renditen berechnen?
Umrechnung in Return at Risk (RaR)
- VaR = Anfangsvermögen * e^(RaR)
- VaR = Anfangsvermögen * (1+RaR)
Beurteilen Sie ausführlich die Eignung des Value at Risk als Risikomaß!
- Betrachtet nur einen einzigen Punkt in der Verteilung
- Risikostreuung über VaR möglich
- nicht subadditiv: wenn das Risikolimit für zwei Personen isoliert eingehalten wird, kann die Gesamtposition trotzdem das gemeinsame Limit sprengen
Charakterisieren Sie das Risikomaß Conditional Value at Risk!
- Bedingter Erwartungswert der Verluste, die größer als Value at Risk sind.
- Alternative mit niedrigerem CaR wird bei Risikoaversion als besser angesehen
Beurteilen Sie ausführlich die Eignung des Conditional Value at Risk als Risikomaß
- CVaR ist subadditiv
* bezieht mehr Informationen als nur das Quantil
Schildern Sie die Informationen, die zur Prognose unter Risiko benötigt werden! Benutzen Sie dabei ein Beispiel zur Erläuterung!
- Risikomaße beinhalten generell einen Informationsverlust
- Varianz und LPM: vernachlässigen andere Momente und Quantile von Verteilungen
- VaR und CVaR: vernachlässigen Momente von Verteilungen
→ Ein und dieselbe Position kann bei Verwendung versch. Risikomaße unterschiedlich gut abschneiden
- Folge: Risikomaße müssen auf die Zielgröße und nicht auf einzelne Komponenten angewendet werden
• eine Downsidemaße (LPM, VaR, CVaR) sind isoliert nicht sinnvoll zu verwenden, sondern müssen bspw. um den Erwartungswert ergänzt werden
Skizzieren Sie Möglichkeiten zur Prognose von Verteilungen!
- Prognosen können nur mit Vereinfachungen erfolgen
- Form der Verteilungsfunktion wird spezifiziert
◦ zukunftsorientiert
→ Introspektion: Erfahrung von WSVorstellungen des Entscheiders
→ verhaltensorientiert: Ableitung subjektiver Prognosen aus tatsachlichen Entscheidungen
◦ teilweise vergangenheitsorientierte Simulation
Skizzieren Sie Möglichkeiten zur Prognose von Risiko-Maßen!
• Risikomaße:
◦ vergangenheitsorientiert
◦ Schätzer für Erwartungswert: 1/n(sum x_i)
◦ Schätzer fur Varianz: 1/(n-1)(sum(x_i - SEW)^2)
◦ Schätzer fur Kovarianz:
1/(n-1) (sum((x_i - SEW)(y_i - SEW)))
Erläutern Sie den Varianz/Kovarianz-Ansatz und die historische Simulation im Zusammenhang mit der Ermittlung des Value at Risk!
- wird unterstellt, dass interessierende Zahlung durch Normalverteilung charakterisiert
- Erwartungswert und Varianz basierend auf Vergangenheitsdaten
• weil VaR Sicherheit fur die Zukunft geben soll, aber auf Vergangenheitsdaten basiert, erfolgt ein sog. Backtesting
→ es wird durch tatsächliche Realisationen der interessierenden Zahlung geprüft, wie oft der ermittelte VaR tatsächlich überschritten wurde
• historische Simulation ist strikt vergangenheitsorientiert. Es werden die historisch aufgetretenen Realisation der Interessierten Zahlungen betrachtet.
→ Quantilbestimmung durch abzählen
Erläutern Sie Risikoverbund-Effekte anhand der Varianz eines Portfolios!
- Kombination mehrerer Wertpapiere
- Varianz eines Portfolios besteht aus den Varianzen und dem Risikoverbund der Wertpapiere
- Risikoverbund mittels Kovarianz bzw. Korrelationskoeffizienten
rho<0: WPs tendenziell gegenläufig rho=0: WPs unabhängig rho>0: WPs tendenziell gleichläufig rho=1: WPs gleichläufig rho=-1: WPs gegenläufig
Wann sind Diversifikations- und wann Spezialisierungsstrategien in der Portfolio Selektion zu empfehlen?
• Diversifikation: = Wertpapiermischung (nicht WP mit kleinster Varianz)
-> nicht die Varianz sondern die Kovarianz bestimmt das Risiko
- Wertpapiermischung lohnt sich sobald kKorrelation roh < 1
- Spezialisierung: Risiko wird Chancen gegenübergestellt
- hoher/niedriger Erwartungswert bedingt hohe/niedrige Varianz
- Portfolios können nur verglichen werden, wenn sie μ-σ-effizient sind
Erläutern Sie das Konzept der μ-σ-Effizienz. Gehen Sie in diesem Zusammenhang auch darauf ein, wie eine Senkung der Varianz auf den Erwartungswert wirkt und umgekehrt!
• Portfolios können nur miteinander verglichen werden, wenn ihre Erwartungswerte um die Varianz bereinigt werden → μ-σ-Effizienz
• Ein Portfolio ist μ-σ-effizient, wenn es kein anderes Portfolio gibt, das
◦ bei gleichem Erwartungswert eine niedrigere Varianz
◦ bei gleicher Varianz einen höheren Erwartungswert
◦ oder niedrigere Varianz und höherer EW
- Erhöhung des Erwartungswertes um eine Einheit führt zu Erhöhung der Varianz um mehr als eine Einheit
- Senkung des Risikos um eine Einheit führt zu Senkung der Erwartungswerte um mehr als eine Einheit
◦ ↑EW um 1 Einheit → ↑Risiko um >1 Einheit
◦ ↓Risiko um 1 Einheit → ↓EW um >1 Einheit
