1.1 Números reales
1.1 Números reales
Los números reales incluyen todos los números que se pueden encontrar en la recta numérica, es decir, los números racionales (como los enteros, fracciones y decimales) y los números irracionales
1.1.3 Raíces y potencias con exponente racional
1.1.3 Raíces y potencias con exponente racional
Las potencias y raíces con exponentes racionales son una extensión natural de las potencias enteras y las raíces cuadradas.
Potencias con exponente racional
Potencias con exponente racional
Una potencia con exponente racional m/n se puede expresar como:
a ^ m/n = ⁿ√a^m
Ejemplos:
1._ 16 ^ ½
Esto equivale a la raíz cuadrada de 16: √16 = 4
2._ 27 ^ ⅓
Esto equivale a la raíz cúbica de 27: 3√27 = 3
3._ 8 ^ ⅔
Esto equivale a ³√8² = ³√64 = 4
Raíces con exponente racional
Raíces con exponente racional
De manera similar, una raíz puede expresarse como una potencia con exponente racional. Por ejemplo:
ⁿ√a = a ^ 1/n
Ejemplos:
1._ ⁴√16
Esto equivale a 16 ^ ¼
Cómo 16 = 2⁴, tenemos (2⁴) ^ ¼ = 2
2._ ⁵√32
Esto equivale a 32 ^ ⅕
Cómo 32 = 2⁵, tenemos (2⁵) ^ ⅕ = 2
1.2 Números complejos
1.2 Números complejos
Los números complejos amplían los números reales para incluir soluciones a ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales. Un número complejo se expresa como z = a + bi, dónde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, con la propiedad i² = -1
1.2.1 Suma y resta de números complejos
1.2.1 Suma y resta
Para sumar o restar números complejos, simplemente sumamos o restamos las partes reales e imaginarias por separado.
Ejemplos:
- Suma: (3 + 4i) + (1 + 2i)
- Parte real: 3 + 1 = 4
- Parte imaginaria: 4i + 2i = 6i
- Resultado: 4 + 6i
- Resta: (5 + 7i) - (2 + 3i)
- Parte real: 5 - 2 = 3
- Parte imaginaria: 7i - 3i = 4i
- Resultado: 3 + 4i
1.2.2 Multiplicación de números complejos
1.2.2 Multiplicación
Para multiplicar números complejos, utilizamos la propiedad distributiva y recordamos que i² = -1.
Ejemplos:
- Multiplicación: (2 + 3i) * (1 + 4i)
Multiplicamos las partes:
- Parte real: 2 * 1 = 2
- Parte imaginaria: 2 * 4i = 8i
- Parte imaginaria: 3i * 1 = 3i
- Parte imaginaria 3i * 4i = 12i² (recuerda que i² = -1, por lo tanto 12i² = 12(-1) = -12)
Sumamos las partes: 2 + 8i + 3i - 12 = -10 + 11i
- (4 + 5i) * (2+i)
Multiplicamos las partes:
- Parte real: 4 * 2 = 8
- Parte imaginaria: 4 * i = 4i
- Parte imaginaria: 5i * 2 = 10i
- Parte imaginaria: 5i * i = 5i²
(recuerda que i² = -1, por lo que 5i² = 5(-1) = -5
Sumamos las partes: 8 + 4i + 10i - 5 = 3 + 14i
1.3 Expresiones algebraicas
1.3 Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables y operaciones (suma, resta, multiplicación, división y exponentes).
1.3.1 Suma y resta (Expresiones Algebraicas)
1.3.1 Suma y resta
Para sumar o restar expresiones algebraicas, sumamos o restamos los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.
Ejemplos:
- 3x + 5x
- Sumamos los coeficientes de los términos semejantes: 3x+5x=8x
- 4y² - 2y²
- Restamos los coeficientes de los términos semejantes: 4y² - 2y² = 2y²
- 2a + 3b - a + 4b
- Sumamos y restamos los terminos semejantes:
2a - a = a
3b + 4b = 7b
Resultado: a + 7b
1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)
Multiplicación
1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)
Multiplicación
Para multiplicar expresiones algebraicas, multiplicamos los coeficientes y luego aplicamos las propiedades de los exponentes a las variables.
Ejemplos:
- (2x) * (3x)
- Multiplicamos los coeficientes: 2 * 3 = 6
- Multiplicamos las variables (suma de exponentes): x * x = x²
- Resultado: 6x²
- (4a²b) * (2ab³)
- Multiplicamos los coeficientes: 4 * 2 = 8
- Multiplicamos las variables:
a² * a = a²+¹ = a³
b * b³ = b¹+³ = b⁴
- Resultado: 8a³b⁴
1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)
División
1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)
División
Para dividir expresiones algebraicas, dividimos los coeficientes y luego aplicamos las propiedades de los exponentes a las variables.
Ejemplos:
- (6x³) / (2x)
- Dividimos los coeficientes: 6 / 2 = 3
- Dividimos las variables (resta de exponentes): x³-¹ = x²
- Resultado: 3x² - (10a⁴b²) / (5a²b)
- Dividimos los coeficientes: 10 / 5 = 2
- Dividimos las variables:
a⁴-² = a²
b²-¹ = b
- Resultado: 2a²b
1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional
Potencias con exponente racional
1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional
Las potencias y raíces con exponentes racionales se utilizan para expresar raíces en términos de potencias.
Potencias con exponente racional
Una potencia con exponente racional m/n se puede expresar como una raíz:
- a^m/n se lee como “ a elevado a la fraccion m/n”.
- Esto equivale a tomar la n-esima raiz de a elevada a la potencia m.
Ejemplos:
- 16 ^ ½
Esto equivale a la raíz cuadrada de 16, que es 4. - 27 ^ ⅓
Esto equivale a la raíz cúbica de 27, que es 3. - 8 ^ ⅔
Esto equivale a la raíz cúbica de 8 al cuadrado. Primero calculamos 8² = 64, y luego la raíz cúbica de 64 es 4.
1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional
Raíces con exponente racional
1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional
Las potencias y raíces con exponentes racionales se utilizan para expresar raíces en términos de potencias.
Raíces con exponente racional
De manera similar, una raíz puede expresarse como una potencia con exponente racional:
La n-esima raiz de a, se escribe como a ^ 1/n.
Ejemplos:
- La raíz cuarta de 16.
- Esto equivale a 16^¼.
- Cómo 16 es igual a 2⁴, la raíz cuarta de 16 es 2.
- La raíz quinta de 32.
- Esto equivale a 32 ^ ⅕.
- Como 32 es igual a 2⁵, la raíz quinta de 32 es 2.
1.3.4 Operaciones con radicales
Simplificación de radicales
1.3.4 Operaciones con radicales
Simplificación de radicales
Para simplificar radicales, buscamos factores que sean potencias perfectas del índice de la raíz.
Ejemplos:
- √50
- Factorizamos 50: 50 = 25 * 2 = 5² * 2
- Extraemos la raíz cuadrada de 25: √50 = √(5² * 2) = 5 √2
- ³√54
- Factorizamos 54: 54 = 27 * 2 = 3³ *2
- Extraemos la raíz cúbica de 27: ³√54 = ³√(3³ *2) = 3 ³√2
1.3.4 Operaciones con radicales
Suma y resta de radicales
1.3.4 Operaciones con radicales
Suma y resta de radicales
Para sumar o restar radicales, los términos deben tener el mismo índice y radicando (la cantidad dentro del radical).
Ejemplos:
- 3 √2 + 5 √2
- Sumamos los coeficientes: 3 +5 = 8
- Resultado: 8 √2 - 4 √3 - 2 √3
- Restamos los coeficientes: 4 - 2 = 2
- Resultado: 2√3
1.3.4 Operaciones con radicales
Multiplicación y división de radicales
1.3.4 Operaciones con radicales
Multiplicación y división de radicales
Ejemplos:
- √2 * √8
- Multiplicamos los radicandos: √(2 * 8) = √16 = 4 - √50 / √2
- Dividimos los radicandos: √(50/2) = √25 = 5
Productos notables
Productos notables
Los productos notables son fórmulas algebraicas que se utilizan para simplificar la multiplicación de ciertos tipos de expresiones algebraicas. Son “notables” porque aparecen frecuentemente y tienen formas específicas que facilitan su uso.
Principales productos notables
1. Cuadrado de un binomio
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab - b²
2. Producto de la suma por la diferencia de dos términos
(a + b) (a - b) = a² - b²
3. Cubo de un binomio
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
4. Producto de binomios conjugados
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
Ejemplos
- (x + 3)²
Usamos la fórmula del cuadrado de un binomio:
(x + 3)² = x² + 2 (x) (3) + 3² = x² + 6x + 9
- (x - 4) (x + 4)
Usamos la fórmula del producto de la suma por la diferencia de dos términos:
(x - 4) (x + 4) = x² - 4² = x² - 16
Factorización
Factorización
La factorización es el proceso de escribir un polinomio como un producto de sus factores. Los factores son expresiones más simples que, multiplicadas entre sí, dan como resultado el polinomio original.
Principales métodos de factorización
- Factor común
Se busca el factor común en todos los términos del polinomio y se factoriza.
Ejemplo:
3x³ + 6x² = 3x² (x + 2)
- Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es la expansión del cuadrado de un binomio.
Ejemplo:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
- Diferencia de cuadrados
Un polinomio de la forma a² - 16 se factoriza como el producto de dos binomios conjugados.
Ejemplo:
x² - 16 = (x - 4) (x + 4)
- Trinomio cuadrado general
Para factorizar un trinomio cuadrado general ax² + bx + c se buscan dos numeros que multiplicados den a * c y sumados den b.
Ejemplo:
x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
- Factorización por agrupación
Se agrupan los términos de tal manera que cada grupo tenga un factor común.
Ejemplo:
x³ + 3x² - x - 3 = x² (x + 3) - 1 (x + 3) = (x² - 1) (x + 3) = (x - 1) (x + 1) (x + 3)
- Productos notables y factorización
2.1 Binomio de Newton
- Productos notables y factorización
2.1 Binomio de Newton (a + b)ⁿ, n ∈ N
El Binomio de Newton describe la expansión de una potencia de un binomio (a + b)ⁿ . La formula general se expresa mediante coeficientes binomiales:
n (n) n-k k
(a+b)ⁿ = ∑ (k) a b
k=0
Donde ( n k ) es el coeficiente binomial y se calcula como:
(n)
(k) = n! / k! (n - k)!
Ejemplo: Expandir (a + b)³
(3) (3) (3) (3) (a + b)³ = (0) a³b⁰ +(1) a²b¹ + (2) a¹b² + (3) a⁰b³
= 1a³ + 3a²b + 3ab² +1b³
=a³ + 3a²b + 3ab² +b³
- Productos notables y factorización
2.2 Teorema del residuo y del factor
- Productos notables y factorización
2.2 Teorema del residuo y del factor
- Teorema del Residuo: Si un polinomio P(x) se divide por (x - c), el residuo de esta división es P(c).
Ejemplo: Si P(x) es = x³ - 2x² + 3x - 4 y queremos encontrar el residuo de P(x) al dividir por (x - 2):
P(2) = 2³ - 2(2²) + 3(2) - 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2
El residuo es 2.
- Teorema del Factor: Si c es una raíz del polinomio P(x), entonces (x - c) es un factor de P(x).
Ejemplo: Si P(x) = x² - 5x + 6, y queremos saber si (x - 2) es un factor:
P(2) = 2² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
Cómo P(2) = 0, (x - 2) es un factor de P(x).
2.3 Simplificación de fracciones algebraicas
2.3 Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar fracciones algebraicas, factorizamos el numerador y el denominador y luego cancelamos los factores comunes.
Ejemplo: Simplificar (2x² - 8) / 4x
- Factorizamos el numerador:
2x² - 8 = 2 (x² - 4) = 2 (x - 2) (x + 2) - Factorizamos el denominador:
4x = 2 * 2x - Simplificamos la fracción:
(2 (x - 2) (x + 2)) / 2 * 2x = ((x - 2) (x + 2)) / 2x
2.4 Operaciones con fracciones algebraicas
Suma y resta
2.4 Operaciones con fracciones algebraicas
Suma y resta
Para sumar o restar fracciones algebraicas, buscamos un denominador común.
Ejemplo: 3/x + 4/x²
- Encontramos el denominador común: x * x² = x³
- Ajustamos las fracciones :
(3x/x³) + (4/x²) = (3x²/x³) + (4x/x³) = (3x² + 4x) / x³
2.4 Operaciones con fracciones algebraicas
Multiplicación y división
2.4 Operaciones con fracciones algebraicas
Multiplicación y división
Para multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos los numeradores y los denominadores. Para dividir, multiplicamos por el recíproco.
Ejemplo de multiplicación: (2x/3y) * (4y / 5x)
- Multiplicamos los numeradores y los denominadores:
(2x * 4y) / (3y * 5x) = 8xy / 15xy
- Simplificamos:
8xy / 15xy = 8 / 15
Ejemplo de división: (2x / 3y) / (4y / 5x)
- Tomamos el recíproco de la segunda fracción y multiplicamos:
(2x / 3y) * (5x / 4y) = (2x * 5x) / (3y * 4y) = 10x² / 12y²
- Simplificamos:
10x² / 12y² = 5x² / 6y²
- Ecuaciones
3.1 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad
- Ecuaciones
3.1 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad
Ecuación:
Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más variables. Resolver una ecuación implica encontrar el valor o los valores de las variables que hacen verdadera la igualdad.
Ejemplo:
2x+3=7
Identidad:
Una identidad es una igualdad que es cierta para todos los valores de las variables.
Ejemplo:
(x + 1)² = x² +2x + 1
Propiedades de la igualdad:
- Propiedad Reflexiva:
a = a - Propiedad Simétrica:
Si a = b, entonces b = a - Propiedad Transitiva:
Si a = b y b = c, entonces a = c - Propiedad de la Adición:
Si a = b, entonces a + c = b + c - Propiedad de la Sustracción:
Si a = b, entonces a − c = b − c - Propiedad de la Multiplicación:
Si a = b, entonces a c = b c - Propiedad de la División:
Si a = b y c ≠ 0, entonces a / c = b / c
