2.1 Matriz ¿Que es? ¿Cuales son sus dimensiones y elementos?
- Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas.
- Dimensiones: Las dimensiones de una matriz nos dicen su tamaño, el número de renglones y columnas de la matriz, en ese orden. Si la matriz A tiene dos renglones y tres columnas, escribimos sus dimensiones como 2x3 que se pronuncia “dos por tres”. En contraste, si la matriz B tiene tres renglones y dos columnas será una matriz de 3x2.
- Elementos: Un elemento de la matriz es simplemente una entrada de la matriz. Cada elemento en una matriz se identifica al nombrar el renglón y la columna en los cuales aparece. El elemento G21 es la entrada en el segundo renglón y la primera columna. Que por ejemplo es G21 = 18. En general, el elemento en el renglón i y la columna j de la matriz se denota como Gij.
3.2 Operaciones elementales de fila (o renglón) de matrices
- Se pueden intercambiar dos renglones cualquiera entre sí. Que se representa como R2 ↔ R3
- Multiplicar un renglón por una constante diferente de 0. Por ejemplo 3.R2 → R2.
- Sumar un renglón con otro. Que se representa como R1 + R2 → R2.
3.1 Matriz reducida por filas - ¿Que es? y ¿Cómo se caracteriza?
- La aplicación de sucesivas operaciones elementales de filas sobre una matriz deriva en una matriz que se denomina matriz reducida por filas, que nos sirve para resolver sistemas lineales de ecuaciones, calcular el rango de una matriz, calcular la inversa de una matriz, etc.
- Características
I) Las filas nulas, que todos sus elementos son cero, se colocan en la parte inferior de la matriz.
II) Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en cada fila (que no esté formado totalmente por ceros) es un 1, llamado la entrada
principal de su fila.
III) Si los filas i e i + 1 son dos filas sucesivas que no consten completamente de ceros, entonces la entrada principal de la fila i+1 está a la derecha de la entrada principal de la fila i.
IV) Si una columna contiene una entrada principal de algún renglón, entonces el resto de las entradas de esta columna son iguales a cero.
3.3 Matriz aumentada - ¿Que es? y ¿Para que se utiliza?
- En una matriz aumentada, cada renglón representa una ecuación en el sistema y cada columna representa una variable o los términos constantes.
- Para resolver un sistema de ecuaciones lineales se utilizan matrices aumentadas, aplicando cualquiera de las operaciones de fila o renglón para crear una matriz equivalente que conserva las propiedades de la matriz original.
2.2 Suma y resta entre matrices - ¿Cual es la condición para aplicarla? y ¿Como se aplica?
Siempre que las dimensiones de dos matrices sean las mismas, podemos sumarlas y restarlas.
Suma y resta: Un elemento de la matriz C se obtienen de la suma del mismo par de elementos correspondientes a las matrices A y B, es decir, que le elemento C22 se obtiene de la suma de A22 y B22. Esto se repite para cada elemento de la matriz C. La matriz C tendrá el mismo orden o tamaño mxn que las matrices A y B.
2.4 Multiplicación de matriz por escalar - ¿Que es un escalar? y ¿Como se aplica?
El término multiplicación escalar se refiere al producto de un número real por una matriz.
Para obtener 2A, simplemente multiplica cada elemento de la matriz por 2.
3.4 Matriz nula o cero - ¿Qué es? y ¿Cuales son sus propiedades?
- Una matriz cero es una matriz en la que todas las entradas o elementos son cero.
- Propiedades
- Sumar una matriz cero a cualquier matriz A de mxn da la misma matriz A de mxn.
- Sumar cualquier matriz a su opuesto dará una matriz cero.
- La multiplicación escalar de una matriz por 0 dará una matriz cero.
2.3 Propiedades de las sumas de matrices
Propiedades
- La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A
- La suma de matrices es asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
- La suma de matrices tiene elemento neutro aditivo: A+N = A
N es la matriz nula, o sea, aquella matriz en que todos sus elementos son iguales a cero.
- La suma de matrices tiene inverso aditivo: A+(-A ) = N
- La suma de matrices A+B es una matriz de las mismas dimensiones que A y B.
2.5 Propiedades de la multiplicacion de matrices con escalar - ¿Cuales son?
Propiedades
- La multiplicación de matrices de c.A es una matriz de las mismas dimensiones que A.
- La multiplicación de matrices es asociativa: (cd)A = c(dA)
- La multiplicación de matrices es distributiva: c(A + B) = cA + cB _ (c + d).A = cA + dA
- La multiplicación de matrices tiene la existencia del elemento neutro: 1.A = A
2.6 Multiplicación matricial
La multiplicación matricial se refiere al producto de dos matrices.
Cada elemento en la matriz C es el producto de un renglón en la matriz A y una columna en la matriz B.
De modo que el elemento C1,2 sea el producto entre el renglón 1 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B. Para encontrar el producto de dos pares ordenados (renglón - columna), multiplicamos los primeros y segundos elementos de cada par y sumamos los resultados.
2.7 Propiedades del producto matricial -¿Cuales son?
Para que la multiplicación de matriz esté definida, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de renglones en la segunda matriz. (mxn).(nxk)
1. El producto de una matriz de mxn por una matriz nxk es una matriz mxk.
2. No es conmutativa. Es decir que A.B y B.A no son iguales.
3. Es asociativa. Es decir: (AB)C=A(BC)
4. Es Distributiva. Es decir: A(B+C) = AB+AC
(B+C)A = BA+CA
5. Tiene identidad multiplicativa. Es decir: In.A = A
6. La multiplicación por matriz 0. Es decir: 0.A = 0
3.5 Matriz identidad - ¿Que es?
- Es aquella matriz en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 mientras que los elementos distintos de la diagonal principal son nulos.
Se denotará In (Matriz identidad de orden n). Simbólicamente (aij = 1, para i=j) y (aij = 0 para i ≠ j).
La diagonal principal está compuesta por los elementos que van desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha de la matriz.
3.6 Propiedades de la matriz identidad - ¿Cuales son?
- El producto de cualquier matriz cuadrada por la matriz identidad adecuada siempre es igual a la matriz original. A.I = I.A = A
La matriz identidad I tiene un papel similar al que tiene el número 1 en los números reales. - No todas las matrices tienen inversas multiplicativas; es decir, cuando el producto entre dos matrices es la matriz identidad; a diferencia de los números reales.
4.1 Tipos de matrices
- MATRIZ DIAGONAL: es aquella matriz que todos sus elementos que no pertenecen a la diagonal principal son iguales a cero. aij = 0, para i ≠ j
- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: son las matrices que los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Simbólicamente aij = 0 para i > j
- MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: son las matrices que los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Simbólicamente aij = 0 para i < j
- MATRICES SIMÉTRICAS: Son aquellas que los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales. Simbólicamente aij = aji
5.1 Transpuesta de una matriz - ¿Que es? y ¿Qué dimensiones tiene?
La transpuesta de una matriz A, denotada por At, se obtiene de intercambiar las filas de A por las columnas de At, es decir, que la primera columna de At es la primera fila de A, la segunda columna de At es la segunda fila de A y así sucesivamente. Por lo tanto, si A es una matriz m x n, entonces la transpuesta de A, se define como la matriz n x m.
5.2 Propiedades de la transpuesta de una matriz
Para todas las matrices A y B y para todo escalar k:
- Si la matriz A es cuadrada y diagonal: A = At.
- La transpuesta de la transpuesta de A es A: (At)t= A
- La transpuesta del producto de un escalar k por una matriz A: (kA)t = k(At)
- La transpuesta de la suma de matrices: (A + B)t = At+Bt
- La transpuesta del producto de matrices: (AB)t = Bt.A
5.3 Inversa de una matriz
Para obtener la inversa de una matriz A regular y cuadrada de dimensión nxn, debemos aplicar el método de Gauss que consiste en definir una matriz por bloques (o ampliada) formada por la matriz A y la matriz In. Se realizan operaciones elementales filas hasta conseguir la matriz identidad en el bloque izquierdo de la matriz G. Y la matriz B que se obtiene de transformar la matriz identidad en el bloque derecho de G es la inversa de A.
Una matriz A es invertible si existe una matriz B tal que B.A = A.B = In. A la matriz B se la denomina matriz inversa de A y se la representa simbólicamente por A-1.
5.4 Propiedades de la Inversa de una matriz
Propiedades:
a) Si A es una matriz invertible, entonces A-1 también es invertible. (A-1)-1=A
b) Si A es una matriz invertible, y c es un escalar distinto de cero, entonces c.A también es invertible. (c.A)-1 = 1/c.A-1
c) Si A y B son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces A.B también es invertible. (A.B)1=B-1.A-1
d) Si A es una matriz invertible, entonces AT también es invertible. (AT)-1 = (A-1)T
e) Si A es una matriz invertible, entonces An también es invertible para todo entero n. (An)-1=(A-1)n
5.5 Teorema de proposiciones equivalentes
Sea A una matriz de n x n no singular. Las siguientes proposiciones son equivalentes:
- A es invertible.
- La forma reducida por filas de A es In.
- A es un producto de matrices elementales.
3.7 Matriz elemental y teorema
- MATRIZ ELEMENTAL: es cualquier matriz que puede ser obtenida al realizar una operación elemental por renglón sobre una matriz identidad.
- TEOREMA: Sea E una matriz elemental que se obtiene cuando se efectúa una operación elemental por fila sobre la matriz identidad In. Si la misma operación elemental por fila se realiza sobre una matiz A de n x r, el resultado es el mismo que la matriz E.A
