Serie

Question 1

definizione serie convergente, divergente, irregolare

Answer 1

data la successione {an}, considerata la successione delle sue somme parziali {sn},

• se E lim(n->+inf) sn = lambda app R, dico che la serie degli an converge ed ha per somma lambda e scrivo ∑(n=0, +inf) an = lamda
• se lim(n->+inf) sn = +inf dico che la serie degli an diverge a +-inf e scrivo ∑(n=0, +inf) an = +-inf
• se !E lim(n->+inf) sn dico che la serie degli an è irregolare o oscillante

la serie degli an si indica convenzionalmente con ∑(n=0, +inf) an

Question 2

proposizioni

Answer 2

1) se ∑(n=0, +inf) an = lambda app R, allora an->0
2) se an >=0 Vn, allora sn è monotona crescente, quindi la serie degli an è regolare (converge o diverge)
3) se {an} e {bn} sono definitivamente uguali per n->+inf, ∑(n=0, +inf) an e ∑(n=0, +inf) bn hanno lo stesso carattere. se convergono, avranno in generale somme diverse

Question 3

serie geometrica

Answer 3

∑(n=0, +inf) q^n =

• 1/1-q se |q| < 1
• +inf se q >= 1
• è irregolare se q min.u -1

Question 4

serie di Mengoli

Answer 4

∑(n=1, +inf) 1/n*(n+1) = 1

Question 5

serie armonica

Answer 5

∑(n=1, +inf) 1/n diverge

Question 6

criteri di convergenza per serie di segno costante

Answer 6

• criterio del confronto
• criterio del confronto asintotico
• criterio del rapporto
• criterio della radice n-esima

Question 7

criterio del confronto

Answer 7

siano {an}, {bn} due successioni tali che 0 min.u an min.u bn almeno definitivamente.
Se ∑(n=0, n) bn converge, allora ∑(n=0, +inf) an converge

Question 8

criterio del confronto asintotico

Answer 8

date ∑(n=0, +inf) an e ∑(n=0, +inf) bn con an, bn > 0,

se an asintotico bn per n->+inf, allora ∑(n=0, +inf) an converge se e solo se ∑(n=0, +inf) bn converge

Question 9

famiglie campione

Answer 9

∑(n=0, +inf) 1/n^a
-converge per a>1

∑(n=0, +inf) 1/n^a*log^b n

• converge per a > 1
• converge per a = 1 e b >1

Question 10

criterio del rapporto

Answer 10

sia an > 0 almeno definitivamente
se lim (n->+inf) a n+1/a n =
-l minore di 1 allora la serie degli an converge
- l > 1 o 1+ allora la serie degli an diverge
- l = 1 ma non 1+ non si può dire nulla

Question 11

criterio della radice n-esima

Answer 11

sia an >= 0 almeno definitivamente
se lim(n->+inf) radice n-esima (an) =
- l minore di 1 allora la serie degli an converge
- l >1 o 1+ allora la serie degli an diverge
- l = 1 ma non 1+ non si può dire nulla

Question 12

def convergenza assoluta

Answer 12

data ∑(n=0, +inf) an, se ∑(n=0, +inf) |an| converge, dico che an converge assolutamente

Question 13

criteri di convergenza per serie a termini di segno quaalunque

Answer 13

• teorema di convergenza assoluta

- criterio di Leibniz per le serie a segno alternato

Question 14

teorema di convergenza assoluta

Answer 14

se ∑(n=0, +inf) an converge assolutamente, allora converge semplicemente

Question 15

criterio di Leibniz per serie a segno alternato

Answer 15

data ∑(n=0, +inf) (-1)^n * an
se
1) an >= 0
2) an è decrescente
3) an -> 0
allora ∑(n=0, +inf) (-1) ^ n * an converge

Question 16

serie: domanda generale

Answer 16

• breve introduzione: paradosso di Achille e la tartaruga e possibilità di ottenere un risultato finito ad una somma di infiniti addendi
• definizione di serie dei termini an
• costruzione della successione delle somme parziali {sn}
• definizione serie convergente, divergente, irregolare
• 3 proposizioni
• serie geometrica, di Mengoli, armonica
• criteri di convergenza per serie a segno costante
• famiglie campione
• criteri di convergenza per serie a segno qualsiasi / alternato