számelmélet alaphalmaza
egész számok halmaza
Z
oszthatóság
Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan x egész szám, amelyre b = x·a.
Jelölés: a|b.
-szorzással definiáljuk, mert az osztás nem értelmezhető az egész számok halmazán
oszthatóság tulajdonságai
- a|a.
- Ha a|b és b|c, akkor a|c.
- Ha a|b és a|c, akkor a|(b±c).
- Ha a|b, akkor ac|bc.
- Ha a|b != 0, akkor |a| 6 |b|.
- Ha a|b és b|a, akkor a = ±b
egység
Egy u egész számot egységnek nevezünk, ha u|a bármely a ∈ Z esetén.
- A Z-beli egységek 1 és −1 (más nincs).
- Bizonyítás: Először is, 1 és −1 egységek, mivel b = (±b)·(±1) bármely b ∈ Z-re.
Másfelől pedig, ha valamely u∈Z osztója minden egész számnak, akkor u|1. Így van olyan
v ∈ Z, hogy 1 = v ·u. Az állítás így következik, mivel 1-et egész számok szorzataként csak
1 = 1·1 = (−1)·(−1) módon áll elő.
felbonthatatlan
Egy f egész számot, amely nem nulla, és nem is egység, felbonthatatlannak (vagy irreducibilisnek) nevezünk, ha valahányszor f =a·b (ahol a és b egészek), akkor
a vagy b egység. Ellenkező esetben f-et felbonthatónak (vagy reducibilisnek) nevezünk.
prím
Egy p egész számot prímnek nevezünk, ha p 6= 0, és nem egység, és
valahányszor p|a· b (ahol a és b egészek), akkor p|a vagy p|b.
Egy p egész szám pontosan akkor prím, ha felbonthatatlan.
számelmélet alaptétele
Bármely a egész szám, amely nem nulla és nem egység, a tényezők sorrendjétől és előjelétől
eltekintve egyértelműen írható felbonthatatlanok szorzataként.
Ha ugyanazt a számot felbonthatatlanok szorzataként többféleképpen is felírjuk, akkor a felbontásokban szereplő tényezők csak sorrendben térhetnek el, illetve legfeljebb előjelben különbözhetnek, de egyébként ugyanazok.
prímtényezős felbontás
Legyen a ∈ Z. Kanonikus alakja az
a = ± p₁ᵃ¹ * p₂ᵃ² * …* pᵣᵃʳ
felbontás, amennyiben 0 < p1 < p2 < . . . < pr prímek (azaz felbonthatatlanok), továbbá α1, . . ., αr pozitív egészek.
kanonikus alak
Legyenek a, b nem-nulla egészek, amelyek nem egységek. Ekkor b|a akkor
és csak akkor, ha b minden p prímosztója osztója a-nak, és a b kanonikus alakjában szereplő
β kitevő kisebb, vagy egyenlő, mint az a kanonikus alakjában szereplő α kitevő.
szemikanonikus alak
- prím kitevője 0 is lehet
osztók száma
- d(a) jelöli a pozitív osztóinak számát
legkisebb közös többszörös
Legyenek a és b egészek. Az l egész
számot a és b legkisebb közös többszörösének nevezünk, ha
- l közös többszöröse a-nak és bnek, vagyis a|l és b|l; továbbá
- a és b bármely m közös többszörösére l|m áll fenn.
legnagyobb közös osztó
Legyenek a és b egész számok. Egy g
egész számot a és b legnagyobb közös osztójának nevezünk, ha
* g közös osztója a-nak és b-nek, vagyis g|a és g|b; továbbá
* a és b bármely d közös osztójára d|g teljesül.
Az a és b számok egy legnagyobb közös osztóját lnko(a; b)-vel jelöljük.
