CC2 - Applications et Continuité

Question 1

Définir une application qui tend vers l en a.

Answer 1

Question 2

Donner la définition de la limite de f en terme de distance.

Answer 2

Question 3

Donner la définition de la limite de f en terme de boules.

Answer 3

Question 4

Énoncer la caractérisation séquentielle de la limite.

Answer 4

Question 5

Démontrer la caractérisation séquentielle de la limite.

Answer 5

Question 6

Montrer que si f : A —> F tend vers l en a, alors l est adhérent à f(A).

Answer 6

Question 7

A-t-on unicité de la limite pour les fonction définies dans des evn ? Le démontrer.

Answer 7

Question 8

Quand dit on que f admet une limite en a ?

Answer 8

Question 9

Énoncer et démontrer la stabilité par restriction de la limite.

Answer 9

Question 10

Qu’est ce que la propriété du caractère local de la limite ?

Answer 10

Question 11

Démontrer.

Answer 11

Question 12

Définir la continuité de f en un point.

Answer 12

Question 13

Énoncer la caractérisation séquentielle de la continuité.

Answer 13

Question 14

Définir un prolongement de f par continuité en a.

Answer 14

Question 15

Que peut-on dire sur l’unicité du prolongement ? Pourquoi ?

Answer 15

L’unicité de la limite entraîne que l’application f(tilde) de la définition précédente est l’unique prolongement de f à AU{a} qui soit continu en a.

Question 16

Quelle est la propriété de stabilité de la limite par combinaison linéaire ?

Answer 16

Question 17

Démontrer.

Answer 17

Question 18

Quelle est la propriété de stabilité de la limite par produit par une fonction à valeurs scalaires ?

Answer 18

Question 19

Démontrer.

Answer 19

Question 20

Quelle est la propriété de stabilité de la limite par l’inverse ?

Answer 20

Question 21

Démontrer.

Answer 21

Question 22

Quelle est la propriété de stabilité de la limite par quotient ?

Answer 22

Question 23

Quelle est la propriété de stabilité de la limite par composée ?

Answer 23

Question 24

Démontrer.

Answer 24

Question 25

Faire un bilan sur les propriétés concernant les limites en un point et les opérations dessus.

Answer 25

Question 26

Définir une application continue.

Answer 26

Question 27

Soit E et F deux IK-espaces vectoriels normés et u : E → F une application linéaire Montrer que u est continue si, et seulement si, elle est continue en 0.

Answer 27

Question 28

Que peut-on dire de la restriction d’une application continue.

Answer 28

Question 28

Démontrer.

Answer 28

Question 29

Définir une application k-lipschitzienne.

Answer 29

Question 30

Quelles opérations et propriétés a-t-on sur les fonctions lipschitziennes ?

Answer 30

Question 31

Comment peut-on lier application lipschitzienne et continuité ?

Answer 31

Toute application lipschitzienne est continue.

Question 32

Démontrer que toute application lipschitzienne est continue.

Answer 32

Question 33

Quelles sont les opérations possibles sur les fonctions continues ?

Answer 33

Question 34

Que peut-on dire de la continuité de 1/f ? Quelle est la conséquence de ça ?

Answer 34

Question 35

Comment peut-on lier images réciproques et ouverts/fermés ?

Answer 35

Question 35

Démontrer.

Answer 35

Question 36

Montrer que le demi-plan {(x,y)€R^2 : x>0} est un ouvert de R^2.

Answer 36

Question 37

Quelle est une manière efficace d'obtenir qu'une boule ouverte est ouverte et qu'une boule fermée est fermée ?

Answer 37

Question 38

Montrer que GLn(K) est un ouvert de Mn(K).

Answer 38

Question 39

Montrer que si f : R —> R est une application continue, alors le graphe de f est un fermé de R^2.

Answer 39

Question 40

Définir des applications dites composantes.

Answer 40

Question 41

Quelle est la propriété sur les applications composantes ?

Answer 41

Question 42

Démontrer.

Answer 42

Question 43

Énoncer le théorème des bornes atteintes.

Answer 43

Question 44

Soit E de dimension finie, A partie non vide fermée et bornée de E, et f : A —> F application continue. Que peut-on dire de l’application ||f(x)|| ?

Answer 44

Elle est bornée et atteint ses bornes.

Question 45

Answer 45

Question 46

Que peut-on dire de la continuité des applications linéaires ?

Answer 46

Question 47

Démontrer.

Answer 47

Question 48

Que peut-on dire de la continuité de cette application ?

Answer 48

Question 49

Démontrer que si E est de dimension finie, alors tout sous-espace vectoriel de E est fermé.

Answer 49

Question 50

Montrer à l’aide d’un exemple que l’hypothèse « E de dimension finie » est indispensable.

Answer 50

Question 51

Définir une application polynomiale dans un evn.

Answer 51

Question 52

Démontrer que toute application polynomiale est continue.

Answer 52

Question 53

Montrer à l’aide d’un exemple que l’hypothèse « E de dimension finie » est indispensable.

Answer 53

Question 54

Définir une application multilinéaire.

Answer 54

Question 55

Démontrer.

Answer 55

Question 56

Démontrer que cette application est continue.

Answer 56

Answer 57

Question 58

Le déterminant est-il continue ? Le démontrer.

Answer 58

Question 59

Montrer que l’application à qui une matrice associe son polynome caractéristique est continue.

Answer 59

Question 60

Rappeler la définition de l’image réciproque d’un ensemble par une fonction.

Answer 60

f^-1(B)={x€E | f(x)€B}