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CC6 - Réduction Flashcards

(97 cards)

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1
Q

Définir une valeur propre et un vecteur propre.

A
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Q

Définir un sous-espace propre et l’exprimer de différentes manières.

A
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Q

À combien de valeurs propres est associé un vecteur propre ?

A

une seule !

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4
Q

À quoi faut-il faire attention dans la définition d’éléments propres ?

A

Les vecteurs propres sont non nuls

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5
Q

Quel est le lien entre le noyau et un élément propre ?

A
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6
Q

Quel est le lien entre l’image et un élément propre ?

A
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7
Q

Donner les éléments propres d’une homotéthie.

A
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8
Q

Donner les éléments propres d’une rotation.

A
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9
Q

Donner les éléments propres d’une projection.

A
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10
Q

Donner les éléments propres d’une symétrie.

A
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11
Q

Donner les éléments propres d’un endomorphisme nilpotent.

A
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12
Q

Soit E = Cinf (IR, IK). Déterminons les valeurs propres et les sous-espaces propres de la
dérivation D€L(E).

A
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13
Q

Soit E = IK. Déterminons les éléments propres de T€L(E) défini par :
T ((Un)n€IN) = (Vn)n€IN avec Vn€IN V_n = U_{n+1}.

A
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14
Q

Soit E = IK[X] et u€L(E) défini par u(P) = X P . Déterminer ses valeurs propres.

A
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15
Q

Que peut-on dire des sep de deux endomorphismes qui commutent ?

A

Les sous-espaces propres de l’un sont stables par l’autre.

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16
Q

Démontrer.

A
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17
Q

Si F sev de E stable par u, quelles sont les valeurs propres de l’endomorphisme induit par u sur F ?

A
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18
Q

Quel est le lien entre sep et somme directe ?

A
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19
Q

Comment peut-on lier famille libre et éléments propres ?

A
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20
Q

En dimension finie, que peut-on dire des dimensions des sep ? Le démontrer.

A
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21
Q

Définir le spectre de u.

A
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22
Q

Combien de valeurs à le spectre d’un endomorphisme d’un ev de dimension n ? Le démontrer

A
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23
Q

Définir les éléments propres d’une matrice.

A
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24
Q

Comment peut-on lier valeur propre de matrice et inversibilité ? Pourquoi ?

A
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25
Combien de valeurs propres admet une matrice de taille n ?
Au plus n valeurs propres.
26
Ex. 8 : déterminer les éléments propres en passant par un système.
27
Quelles sont les valeurs propres d’une matrice triangulaire ? Pourquoi ?
28
Comment peut-on lier Sp(A) et Sp(u) ?
29
Que peut-on dire des éléments propres de deux matrices semblables ? **Le démontrer**.
30
Ex 9 : déterminer spectre réel puis complexe de A.
31
Comment peut-on lier polynômes (quelconques) et éléments propres ? **Le démontrer**
32
Comment eut-on lier valeurs propres et polynôme annulateur ? **Le démontrer**.
33
Retrouver le spectre d’un projecteur en passant par le polynôme annulateur. À quoi faut-il faire attention ?
Attention on à que une inclusion, pas une égalité !!
34
Ex. 11. Déterminer les éléments propres de cette matrice.
35
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on dispose d’un polynôme annuateur P de u ?
36
Définir le polynôme caractéristique d’une matrice. À-t-on unicité et existence ?
Oui
37
Déterminer le polynôme caractéristique de la transposée.
38
Donner la forme général (les coefficients) du polynôme caractéristique.
39
Que vaut le polynôme caractéristique pour une matrice de taille 2x2 ?
40
Que peut-on dire du polynôme caractéristique de deux matrices semblables ? **Le démontrer**.
41
Montrer que AB et BA ont le meme polynôme caractéristique si A inversible. Peut-on généraliser le résultat ? Si oui, comment ?
On utilise la densité de GLn(IK) dans Mn(IK).
42
Que vaut le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire par bloc ?
43
Que vaut le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire ?
44
Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice compagnon.
45
Quel est le lien entre polynôme caractéristique et spectre de A ? **Le démontrer**.
46
47
Si A est une matrice à coefficients complexes, que peut-on dire sur son spectre ?
Elle a au moins une valeur propre d’après le théorème de D’Alembert Gauss.
48
Que peut-on dire du spectre d’une matrice de taille impair à coefficients réels
Elle a au moins une valeur propre d’après le TVI.
49
Définir le polynôme caractéristique d’un endomorphisme.
50
À quoi faut-il faire attention quand on parle de polynôme caractéristique de u ?
Il faut être en dimension finie, sinon ça n’a aucun sens.
51
Que vaut le polynôme caractéristique d’un endo de rang 1 ?
52
Comment peut-on lier polynôme caractéristique d’un endomorphisme et valeur propre ?
53
Comment peut-on lier les polynômes caractéristiques d’un endo et de son induit ?
54
Démontrer. (18)
55
Définir l’ordre de multiplicité d’une valeur propre de u (ou A).
56
Quelle inégalité a-t-on sur la dimension d’un sep ? **Le démontrer**.
57
Si u est de rang inférieur ou égal à r, le polynôme Xu est divisible par X*-r , puisque le noyau Ker u = Eo(u) est de dimension supérieure ou égale à n - r .
58
Déterminer le polynôme caractéristique de A.
59
Que peut-on dire sur le sep si λ est valeur propre simple de u ?
60
Comment peut-on écrire le polynôme caractéristique d’un endo s’il a des valeurs propres 2 a 2 distinctes ?
61
Si u a un polynôme caractéristique scindé, que vaut tr(u) et det(u) ? **Le démontrer**
62
Faire le lien entre matrice réelles et valeurs propres complexes. **Le démontrer**.
63
Définir un endomorphisme puis une matrice diagonalisable.
64
Donner la reformulation de la définition de u dz.
Autrement dit, u est diagonalisable si, et seulement s'il existe une base de E onstituée de vecteurs propres de u.
65
Soit A une matrice représentant un endomorphisme u. Comment peut-on lier la dz de chaque élément ? **Le démontrer**. Quel est le corollaire de cette proposition ?
66
Comment lier matrice et endomorphisme dz ?
67
Montrer que une matrice est diagonalisable si, et seulement si, sa transposée est diagonalisable.
68
69
Comment lier dz et u / A ayant n valeurs propres distinctes ?
70
Démontrer (25)
71
Est-elle dz ?
72
Énoncer la caractérisation de la dz d’un endomorphsime avec les sommes directes. Énoncer son corollaire pour les matrices.
73
A dz ?
74
A dz ?
75
Montrer qu’un projecteur est dz.
76
Soit f€L(Mn(IK)) défini par f(A) = A + tr(A)In. f dz ?
77
Comment lier dz et polynôme caractéristique (on demande ici que la condition *suffisante*) ?
78
Énoncer la **CNS** pour que u soit dz en lien avec le polynôme caractéristique.
79
Démontrer (th29)
80
Quelle est une méthode classique pour savoir si u est dz ?
81
CNS pour que A dz ?
82
comment lier caractère dz et polynôme annulateur ?
83
A dz ?
84
85
u / A est dz s’il est annulé par quel polynôme ?
86
Si u dz, que peut-on dire de l’endo induit par u sur F ? **Le démontrer**.
87
Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.
88
Montrer qu'une matrice A€Mn(C) est nilpotente si, et seulement si, χA = X^n.
89
Définir un endomorphisme u trigonalisable, puis de même pour une matrice A.
90
Quelle est l’interprétation géométrique de la trigonalisation ?
91
Comment lier A tz et u tz ? Quel est le corollaire ?
92
Montrer que.
93
Donner le seul théorème nous donnant une condition de tz.
94
Si A tz, est-ce que A^t tz ? Le monter.
Oui
95
Montrer que si u est trigonalisable et si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors l'endomorphisme induit up est aussi trigonalisable.
96
Que peut-on dire de toute matrice carrée à coefficients dans C (tz) ? pourquoi ?
97
Trigonaliser la matrice A.
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