Def : VA
On appelle valeur d’adhérence d’une suite (Un) toute limite d’une suite extraite de (Un)
Si une suite CV (par rapoort au VA )
Si une suite CV elle admet une seule VA : sa limite
Def : Une partie A de E est compact lorsque
Une partie A de E est compact lorsque toutes suites d’éléments de A admet une VA dans A
Th de B-W reformuler
Tout segment de R est compact.
Tout compact est ….
Tout compact est férmé et borné
Tout férmé relatif à un compact est
Tout férmé relatif à un compact est compact
Une suite d’éléments d’un compact ssi …
Une suite d’éléments d’un compact ssi elle admet une unique VA
Une intersection (qcq) de compacte
Une intersection (qcq) de compacte est compacte.
Toute réunion Finie de compacte
Toute réunion finie de compacte est compacte.
(E et F 2 Kevn) Si A compact de E et B compact de F alors
(E et F 2 Kevn) Si A compact de E et B compact de F alors AxB est un compact de ExF.
L’image d’un compact par une application continue est
L’image d’un compact par une application continue est un compacte
On peut déduire de
l’image d’un compact par une application continue est un compact :
(3 trucs)
corollaire:
1) l’image d’un compact par une application continue est férmé bornée
2)si f est à valeurs dans R alors f est bornée et atteint ses bornes
3) dans tous les cas ∥ f ∥ atteint son sup et son inf sur le compact.
Th de Heine
Toute fonction continue sur un compact est unif continue.
