Qu’est ce qu’un couple de variables aléatoires discrètes ?
Un vecteur aléatoire discret : une n-liste de variables aléatoires discrètes avec n = 2.
Qu’est ce qu’une variable aléatoire discrète ?
Toute variable aléatoire dont le support est indexé par un sous-ensemble de ℕ.
Qu’est ce que la loi conjointe des variables X et Y ?
L’application
P(X,Y) : Supp(X,Y) —> [0,1]
(x,y) –> P((X=x) ∩ (Y=y))
Comment calculer une loi conjointe ?
Énoncé ?
Comment calculer une loi marginale à partir d’une loi conjointe ?
P(X=x) = ∑P((X=x) ∩ (Y=yₖ))
pour k = 0 jusqu’à +∞.
Loi conditionnelle X par rapport à [Y = y] ?
P[Y=y] (X=x) = p((X=x) ∩ (Y=y)) ÷ p(Y=y)
L’espérance E[g(X,Y)] avec g une fonction.
Théorème de transfert :
E[g(X,Y)] = ∑∑ g(xᵢ,yₖ) P(X=xᵢ ∩ Y=yₖ)
Avec i = 0 jusqu’à n
Et k = 0 jusqu’à m
Soit n ∈ Supp(X)
Et m ∈ Supp(Y)
Espérance E(XⁿYᵅ) ?
E(XY) = ∑∑ xᵢⁿ yₖᵅ P(X=xᵢ ∩ Y=yₖ)
Définition de la covariance d’un couple (X,Y) de variables.
Cov(X,Y) = E[ (X–E(X)) (Y–E(Y)) ]
Formule de Huygens-Kœnig pour la covariance d’un couple (X,Y) de variables aléatoires.
Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
Les propriétés sur la covariance.
Cov(X,X’) = V(X)
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
Cov(αX + βX’, Y) = αCov(X,Y) + βCov(X,Y’)
Soient X,Y des variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2.
V(X+Y) = ?
V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)
Qu’est ce que le coefficient de corrélation linéaire ?
r(X,Y) = Cov(X,Y) / σ(X)σ(Y)
Étant donné le couple (X,Y), quand dit-on que X et Y sont indépendantes ?
Quand
P(X=x ∩ Y=y) = P(X=x)P(Y=y)
Ou si
P[Y=y] (X=x) = P(X=x)
∀ y ∈ Supp(Y)
Ou si
La loi de X/Y=y est indépendante de y.
E(XY) si X et Y sont indépendantes ?
E(XY) = E(X)E(Y)
Quand dit on que X et Y sont non corrélées ?
Si Cov(X,Y) = 0.
V(X+Y) si X et Y sont indépendantes ou non corrélées ?
V(X+Y) = V(X) + V(Y)
r(X,Y) si X et Y sont indépendantes ou non corrélées ?
r(X,Y) = 0
Définition de la convolution.
L(X)☆L(Y)(x) = ∑P(X=xᵢ)P(Y=x-xᵢ)
Avec i = 0 jusqu’à +∞.
Si X et Y sont indépendantes alors :
L(X)☆L(Y)(x) = P(X+Y = x)
Convolution de la loi binomiale ?
B(n,p)☆B(m,p) = B(n+m,p)
Convolution de la loi de Poisson ?
P(λ)☆P(μ) = P(λ+μ)
