Forme des EDL1.
y’(t) + a(t)y(t) = b(t)
Solution de y’(t) + a(t)y(t) = 0.
y(t) = C exp(-A(t))
avec C une constante.
Solution particulière de
y’(t) + ay(t) = b.
Avec a et b constants.
yp(t) = b÷a.
Pour a ≠ 0.
Solution particulière de
y’(t) + a(t)y(t) = b(t).
yp(t) = C exp(-A(t)) est solution de (E)
<=>
yp’(t) + a(t)yp(t) = b(t)
Primitive de C exp(-A(t)).
C’ exp(-A(t)) + C (-A’(t) exp(-A(t)) )
Étapes de résolution d’une EDL1.
1) Rien devant y’
2) Solution homogène
3) Solution particulière
4) Additionne
Forme des EDL2.
a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = d(t)
Solution de a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = 0
Si Δ > 0
y(t) = λ exp (r₁t) + μ exp (r₂t)
Solution de a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = 0
Si Δ = 0
y(t) = (λt + μ) exp (r₀t)
Solution de a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = 0
Si Δ < 0
y(t) = exp(αt) (λcos(ωt) + μsin(ωt))
Avec
r₁ = α + iω
r₂ = α - iω
les deux solutions de l’équation caractéristique.
Solution particulière de ay’‘(t) + by’(t) + cy(t) = d
Avec a, b, c et d constants.
yp(t) = d÷c.
Pour c ≠ 0.
Solution particulière de a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = P(t).
Avec P(t) un polynôme.
yp(t) = un polynôme de même degré que P(t).
Solution particulière de a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = P(t) exp(αt)
yp(t) = Q(t) exp(αt)
Avec Q(t) un polynôme de degré :
- = deg(P) si α n’est pas solution de l’équation caractéristique.
- = deg(P)+1 si α est une des solutions de l’équation caractéristique.
- = deg(P)+2 si α est l’unique solution de l’équation caractéristique.
Solution particulière de a(t)y’‘(t) + b(t)y’(t) + c(t)y(t) = d(t).
Avec d(t) = cos(ωt)
ou d(t) = sin(ωt)
yp(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt)
ou
yp(t) = αt cos(ωt) + βt sin(ωt)
Étapes de résolution d’une EDL2.
1) Équation caractéristique —> solution homogène en fonction du nombre de solutions.
2) Solution particulière en fonction du second membre.
3) Principe de superposition.
