FLB 2

Question 1

Was macht die einfaktorielle Varianzanalyse?

Answer 1

• Wirkung eines mehrfach gestuften Faktors auf eine abhängige Variable überprüfen

Question 2

Einfaktorielle Varianzanalyse: Modell

Answer 2

• Basierend auf empirischen Messwerten können die zu den jeweiligen PVs gehörenden Verteilungen dargestellt werden
• Stichprobenmittelwerte dienen als Schätzungen für Mittelwerte der Teilpopulationen müh-i
• In Gruppen ermittelte Standardabweichungen dienen als Schätzwerte für gemeinsame Standardabweichung “klein Theta” der Population
• Formel: yij = müh-i + eij = müh + alpha-i + eij (i = 1,…,k; j = 1,…,ni)
• Jeder Messwert der abhängigen Variablen setzt sich aus Gesamtmittelwert, einem durch jeweilige Faktorstufe verursachten Einfluss und Residuum (Abweichung der einzelnen Probanden vom Mittelwert der jeweiligen Teilpopulation) zs

Question 3

Residuum

Answer 3

• Fasst alle nicht kontrollierbaren und messfehlerbedingten Einflüsse zs

Question 4

Modellfehler / Residualvariable

Answer 4

• Zufallsvariable, deren Realisierungen bzw. Werte die Residuen sind

Question 5

Einfaktorielle Varianzanalyse: Voraussetzungen

Answer 5

1. Statistische Unabhängigkeit der Modellfehler
2. Varianzhomogenität der Modellfehler zw Gruppen
3. Normalverteilung der Modellfehler innerhalb Gruppen

Question 6

Statistische Unabhängigkeit der Modellfehler

Answer 6

• Abweichungen einzelner Probanden vom Mittelwert ihrer Teilpopulation müssen unabhängig von Abweichungen anderer Probanden sein
  => Ggb bei zufällig ausgewählten Probanden, die Faktorstufen zufällig zugeordnet werden und unter Faktorstufen verschiedene Stichproben untersucht werden

Question 7

Varianzhomogenität der Modellfehler zwischen den Gruppen

Answer 7

• Varianzen der Modellfehler unter einzelnen Faktorstufen, die Varianzen abhängiger Variablen unter einzelnen Faktorstufen entsprechen, müssen homogen sein
  => Homogenitätstests (zB mittels relativ robustem Levene-Test)

Question 8

Normalverteilung der Modellfehler innerhalb der Gruppen

Answer 8

• Entspricht Voraussetzung der Normalverteilung der abhängigen Variablen unter einzelnen Faktorstufen
  => Voraussetzung kann mit entsprechenden Anpassungstests (zB Kolmogorov-Smirnov-Test) innerhalb der Stichproben unter den einzelnen Faktorstufen untersucht werden

Question 9

Grobe Empfehlungen zur Robustheit (also zur Unempfindlichkeit gegenüber Verletzungen der Voraussetzungen) der Varianzanalyse

Answer 9

• Robustheit der Varianzanalyse ist generell größer, wenn Stichprobenumfänge ni unter allen Faktorstufen gleich groß
  => In Versuchsplanungsphase möglichst gleich große Gruppen
• Wenn Voraussetzung der Varianzhomogenität ggb (was allerdings bei kleinen Stichproben (ni < 10) nicht hinreichend geprüft werden kann), ist Varianzanalyse relativ robust gegen Verletzungen der Normalverteilungsvoraussetzung
• Bei Verletzung der Varianzhomogenität / kleinen Stichproben (bei denen die Voraussetzungen II und III nicht geprüft werden können) empfiehlt sich Anwendung der robusten Verfahren nach Brown-Forsythe bzw Welch, die für einfaktorielle Varianzanalyse in SPSS realisiert sind - Alternativ: Verwendung der nichtparametrischen Varianzanalyse (Kruskal-Wallis-Test)

Question 10

Einfaktorielle Varianzanalyse: Statistische Hypothesen

Answer 10

• Wirkung der Faktorstufen wird im varianzanalytischen Modell durch Terme alpha-i (i = 1,…,k) beschrieben
• Daraus folgen unmittelbar die für Nachweis der Wirkung des Faktors relevanten statistischen Hypothesen:
  H0 = alpha-i = 0 für alle i (i = 1, …, k)
  H1 = alpha-i /= 0 für mindestens ein i (i = 1, …, k)
• Alternativ wird die H0 oft auch dargestellt als H0: müh1 = müh2 = … = müh-k; müh-i (i = 1, …, k) = Mittelwerte in Teilpopulationen unter jeweiligen Faktorstufen
• Beim Vorliegen von mehr als zwei Faktorstufen impliziert die Ablehnung der Nullhypothese die Frage, zw welchen Faktorstufen der nachgewiesene Unterschied zu finden ist
  => Multiple Vergleiche / Analyse linearer Kontraste

Question 11

Einfaktorielle Analyse: Prüfung der statistischen Hypothesen

Answer 11

• Zwei unterschiedliche Vorgehensweisen:
  1. Quadratsummenzerlegung nach Fisher (klassisch)
  2. Allgemeines lineares Modell
  => In den letzten Jahren zur Behandlung aller varianzanalytischen Fragestellungen weiterentwickelt

Question 12

Quadratsummenzerlegung und Signifikanzprüfung

Answer 12

• Gesamtvarianz der KV (totale QS) wird durch zwei Varianzursachen hervorgerufen
  => Einerseits durch Unterschiede der Mittelwerte der Verteilungen unter den verschiedenen Faktorstufen (Faktor- / Treatmentquadratsumme)
  => Andererseits aus Variabilität der Werte der Probanden um den Mittelwert der jeweiligen Faktorstufe (Fehler- / Residualquadratsumme)
• Größe des Quotienten beider QS ist die für Nachweis der Wirkung des Faktors entscheidende Größe
• Für Berechnung des Verhältnisses: Die drei QS sowie daraus geschätzte mittlere Quadratsumme (MQ)

Question 13

Quadratsummenzerlegung und Signifikanzprüfung: Was ist die totale Quadratsumme?

Answer 13

• Totale Quadratsumme (QS) = Quadratische Abweichungen aller Werte der KV vom Gesamtmittelwert
  => QSFaktor = []^2

Question 14

Quadratsummenzerlegung und Signifikanzprüfung: Wie ergeben sich die Faktor- und Fehlerquadratsumme?

Answer 14

• Für jeden Probanden Differenz des jeweiligen Gruppenmittelwertes vom Gesamtmittelwert bilden & quadrieren
• Berechnung der Fehlerquadratsumme: Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert unter jeweiliger Faktorstufe berechnen

Question 15

Quadratsummenzerlegung und Signifikanzprüfung: Mittlere Quadratsummen

Answer 15

• Bevor Verhältnis der durch Wirkung der Faktorstufen erklärbaren Quadratsummenanteile und Fehler- untersucht werden kann, sind mittlere QS aus QS unter Berücksichtigung der jeweiligen Freiheitsgrade zu schätzen

Question 16

Quadratsummenzerlegung und Signifikanzprüfung: Signifikanztest

Answer 16

• Quotient F aus erklärter mittlerer Quadratsumme MQFaktor und nicht erklärter mittlerer Quadratsumme MQFehler ist bei Gültigkeit der Nullhypothese ein Wert einer mit (k − 1), (N − k) Freiheitsgraden F-verteilten Teststatistik
  => F = MQFaktor / MQFehler

Question 17

Quadratsummenzerlegung und Signifikanzprüfung: Effektgröße

Answer 17

• Für Auswertung empirischer Untersuchungen zur Beurteilung der Effekte von unabhängigen Faktoren ist es grundsätzlich empfehlenswert, zusätzlich Aussagen über Effektgröße zu treffen
• Für varianzanalytische Untersuchungen: Effektgrößemaß Eta-Quadrat
  => Anteil an totaler Quadratsumme (QS), der durch Wirkung des Faktors erklärt wird
  => Eta^2 = Erklärte QS (QSFaktor) / totale QS (QSTotal)
• Kann Werte zw 0 und 1 annehmen
• Unabhängig vom Stichprobenumfang
• Eta^2 = 1 : Variabilität der KV wird vollständig durch Wirkung des Faktors erklärt
• Praktische Beurteilung der Effektgrößemaße in empirischen Untersuchungen ist vollständig vom Kontext der jeweiligen Anwendung abhängig
  => Inhaltliche Überlegungen und Erwartungen sowie Ergebnisse aus vglbaren Untersuchungen können Maßstab sein

Question 18

Vorgehensweise nach dem Allgemeinen linearen Modell

Answer 18

• Übergreifende Darstellung & Bearbeitung der Verfahren Varianz- und Regressionsanalyse
• Allgemeines lineares Modell besteht in Erweiterung der Modelle der multiplen Korrelations- bzw. Regressionsanalyse dahingehend, dass UVs bzw. Faktoren der Varianzanalyse in Regressionsansatz integriert werden
  => Nominalskalierte varianzanalytische Faktoren werden durch Indikatorvariablen kodiert
• Indikatorvariablen werden in
  regressionsanalytische Verfahren eingeschlossen, so dass simultane
  Berücksichtigung von intervallskalierten und nominalskalierten Merkmalen
  & Wechselwirkungen möglich sind

Question 19

Wie berechnet sich eine Indikatorvariable?

Answer 19

• Anzahl ergibt sich aus um 1 reduzierten Anzahl der Stufen
  des jeweiligen Faktors einer UV
• Information der jeweiligen Faktorvariablen sind vollständig enthalten

Question 20

Methode der logistischen Regression

Answer 20

• Methode der logistischen Regressionsanalyse ermöglicht Regressionsanalysen
  mit dichotomen KVs, wobei PVs beliebiges Datenniveau
  haben können

Question 21

Parameter Odds Ratio (OR) und Odds einer Wahrscheinlichkeit p

Answer 21

• Wird im Unterschied zu anderen Parametern (zB Inzidenz, Hazardrate, …) im Ergebnis logistischer Regressionsanalysen bei gleichzeitiger Berücksichtigung von mehreren unterschiedl skalierten PVs ermittelt werden
  1. OR beschreibt Chancenverhältnis: Ergibt sich als Chance zu erkranken, wenn man exponiert ist, im Verhältnis zur Chance zu erkranken, wenn man nicht exponiert ist.
  2. OR ist der Faktor, um den Chance, zu erkranken steigt, wenn man exponiert ist
  3. OR kann interpretiert werden als Faktor, um den Chance, exponiert gewesen zu sein, steigt, wenn man voraussetzt, dass Erkrankung bereits vorliegt
• Kann Werte zw 0 und unendlich annehmen
• Chance, mit der betreffendes Ereignis eintritt
• Wenn Ereignis eine Auftretenswahrscheinlichkeit von p hat, ergibt sich Wert als:

Odds (p) = p / (1 − p)