En quoi la division est une opération complexe ?
- elle utilise plusieurs opérations (additions, soustractions, multiplications)
- elle nécessite une bonne aisance du calcul mental et une parfaite connaissance des tables de multiplication
Quelles sont les caractéristiques de la division ?
La division de deux nombre a et b est l’opération qui les associe ainsi :
q (le quotient), r (le reste) tels que :
a = b x q + r avec 0 <= r < b
Le résultat de la division est composé de deux nombres le quotient et le reste (alors que le résultat de tout autre opération est composé d’un seul nombre)
Le symbole «:» ne sert que dans le cas particulier de la division exacte où les reste est nul
Quelles sont les propriétés de la division ?
- elle n’est pas commutative
- elle n’est pas associative
- elle possède un élément neutre : 1
- le quotient d’une somme est égal à la somme des quotient
- diviser un nombre pas un produit équivaut à diviser le nombre par chacun des termes du produit
Quel est le langage verbal associé à la division ?
- diviser - partager - grouper - distinguer
- division groupement - division partage équitable (pour le PE : division quotition - division partition)
- la division - le diviseur - le dividende - le quotient - le reste
- un multiple - combien de fois ?
Quels sont les signes du langage symbolique associé à la division ?
\: = symbole usuel
= sur la calculette
- = la barre de fraction
|_ = la potence (division posée)
|Quels sont les deux sens de la division ?
- division partition (partage)
- division quotition (groupements)
Qu’est-ce que la division partition ?
Elle intervient dans des situations de partage, de distribution… = situations où l’on est amené à chercher «la valeur d’une part»
Qu’est-ce que la division quotition ?
Elle peut intervenir dans des situations de regroupements, … = situations où on est amené à chercher «le nombre de parts»
Quelles sont les différentes étapes de l’apprentissage de la division ?
- les étapes précédant l’apprentissage de la technique opératoire (algorithme)
- les différents niveaux de résolution
Quels sont les étapes précédant l’apprentissage de la technique opératoire ?
- notions de partages équitables et non équitables
- un temps préalable doit être consacré aux manipulations et aux calculs réfléchis de quotients et de restes
Quelles sont les différents niveaux de procédures de résolution de la division ?
Procédures de niveau 1 : mimer, simuler la situation = dessiner, compter les groupes, utiliser du matériel pour représenter la situation
Procédures de niveau 2 : effectuer des calculs = l’addition réitérée, la soustraction réitérée, tester des hypothèses
Procédures de niveau 3 (procédures expertes) : calcul mental, calcul instrumenté, technique opératoire de la division avec la potence
Quelles sont les différentes situations que l’on peut donner pour acquérir les procédures de niveau 1 ?
- situation de partage
- situation de partage avec reste
- situation de groupement
- situation de groupement avec reste
Quels sont les prerequis à la division posée ?
- savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables
- maîtriser la numération de position, entière puis décimale
- connaître les technique les de l’addition, de la soustraction et de la multiplication
- manipuler les tables d’addition et de multiplication (mémoriser les tables jusqu’à 10, calculs en ligne, construction du répertoire multiplicatif d’un nombre)
- maîtriser la multiplication par 10, 100, 1000 des nombres entiers
- connaître la relation entre multiple et diviseur et quelques critères de divisibilité
Comment apprendre la technique opératoire de la division de deux entiers ?
- commencer l’apprentissage par la manipulation (avec le matériel multibase)
- introduction de la potence
- se passer progressivement de la manipulation
- introduction du diviseur à 2 chiffres
Comment apprendre la division avec un diviseur à 2 chiffres ?
- commencer le calcul par une estimation du nombre de chiffres du quotient
- s’autoriser à poser des produits annexes à la suite d’une première estimation du chiffré cherché dans le quotient
- encourager la pose effective des soustractions et le raisonnement par nombres de milliers, centaines, dizaines, unités
Quelles sont les méthodes pour faire une estimation du nombre de chiffres du quotient ?
- méthode par raisonnement
- méthode par encadrement
Quelles sont les étapes pour apprendre la technique opératoire de la division décimale ?
- division décimale d’un entier par un nombre entier
- division d’un nombre décimal par un nombre entier
Quelles sont les difficultés à surmonter pour aller vers la division ?
- une bonne aisance des opérations (multiplication, soustraction)
- une bonne aisance du calcul mental
- une parfaite connaissance des tables de multiplication
- maintien en mémoire de résultats partiels
- les écrits successifs pour consulter le quotient sont le résultat d’une approximation
Quelles sont les variables didactiques possibles au niveau des problèmes de groupements et de partages ?
- la taille du texte
- l’univers utilisé pour la conceptualisation du problème
- le vocabulaire utilisé dans le texte
- l’ordre des informations numériques
- la totalité des variables de la technique opératoire
Quelles sont les variables didactiques possibles au niveau de la technique opératoire ?
- les types de nombres utilisés (naturels, décimaux)
- le nombre de chiffres au diviseur, au dividende
- le choix des tables de multiplication mises en jeu
- la mise à disposition ou non des tables de multiplication
- la présence ou non d’un reste
- les chiffres du dividende supérieurs ou non au diviseur (ce qui implique la présence ou non de zéro au quotient)
