Logika

Question 1

Matematikai logika fogalma

Answer 1

A matematikai logika a gondolkodás matematikai formában kifejezhető, matematikai eszközökkel viszgálható összefüggéseinek, törvényeinek feltárásával foglalkozik
Fő feladata a következtetések helyességének vizsgálata

Question 2

Állítás

Answer 2

Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelenti mondat, amelyről egyértelműen el lehet dönteni hogy igaz vagy hamis

Question 3

Logikai érték

Answer 3

Az igaz és a hamis a kijelentés logikai értéke
Ha az A állítás igaz, a B állítás hamis, akkor úgy is mondhatjuk, hogy az A logikai értéke igaz, B logikai értéke hamis
Jelekkel |A|=i |B|=h
Az igaz értéket szóltak 1el, a hamis értéket 0val jelölni

Question 4

Összetett kijelentés

Answer 4

A kijelentéseket összekapcsolhatjuk
Azokat a kijelentéseket, amelyeket más kijelentésekből lehet előállítani, összetett kijelentéseknek nevezzük

Question 5

Logikai művelet

Answer 5

Ha az összetett kijelentés logikai értéke csak az őt alkotó állítások logikai értékétől és az előállítás módjától függ, akkor logikai műveletekről beszélünk
A logikai műveleteket igazságtábla segítségével végezhetjük el

Question 6

Tagadás

Answer 6

Egy állítás tagadás egyváltozós művelet
Egy A kijelentés negációja az a kijelentés, amely akkor igaz, ha A hamis, és akkor hamis ha A igaz

Question 7

Kettős tagadás törvénye

Answer 7

Egy állítás tagadásának tagadása maga az allitas

Question 8

Ellentmondásmentesség elve

Answer 8

Egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre igaz

Question 9

A harmadik kizárásának elve

Answer 9

Egy állítás és tagadás nem lehet egyszerre hamis

Question 10

Két állítás egyenlő

Answer 10

Két, A-tól és B-től függő állítás akkor egyenlő, ha A és B minden lehetséges logikai értékére a két állítás igazságértéke egyenlő
A logikai műveletek eredménye csak a tagok logikai értékétől függ

Question 11

Konjunkció

Answer 11

logikai ,,és”
Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis

Question 12

Diszjunkció

Answer 12

,,megengedő vagy”
Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis

Question 13

,,kizáró vagy”

Answer 13

Logikai kizáró vagy akkor igaz, ha pontosan az egyik állítás igaz, a másik hamis, akkor hamis, ha a két állítás logikai értéke megegyezik

Question 14

Állítások implikációja

Answer 14

A ,,ha A, akkor B” kapcsolatnak megfelelő logikai műveletet implikációnak nevezzük
Az implikáció logikai értéke pontosan akkor hamis, ha A igaz és B hamis, különben az implikáció igaz
Az A állítást feltételnek, a B-t következménynek nevezzük
A következtetés csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, de a következmény hamis
Hamis állításból bármi következhet

Question 15

Állítások ekvivalenciája

Answer 15

Az ,,A akkor és csak akkor B” kapcsolatnak megfelelő logikai műveletet ekvivalenciának nevezzük
Az ekvivalencia logikai értéke pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke azonos, különben hamis
Ha az A<->B igaz, akkor azt mondjuk, hogy A és B állítások ekvivalensek egymással

Question 16

szükséges, elégséges feltétel

Answer 16

az állításokat gyakran ,,Ha A igaz, akkor B igaz” formában fogalmazzuk meg
tehát 1 A állítás igazságából következik egy B állítás igazsága (vagyis, ha az A->B implikácó igaz), azt mondjuk, h az A állításból következik B állítás, vagy azt, h A állítás B állításnak elégséges feltétele (hiszen a B állítás igazságának bizonyításához elég az A állítás igazságát bizonyítani)
ilyenkor a B állítás az A állításnak szükséges feltétele (hiszen az A állítás nem lehet igaz, ha a B állítás nem igaz)
ha ilyen esetben az A állítás igazságából a b állítás igazságára következtetünk, az helyes következtetés
ha azt akarjuk, kimutatni, h az A állításból nem következik a B állítás, elég 1etlen példát mutatni olyan esetre, amikor A igaz és B hamis
ha ilyen esetben A állításból a B állításra következtetünk, az nem jelyes, vagyis helytelen következtetés
ha az A állításból következik a B állítás, és fordítva is (a B állításból következik az A állítás), akkor azt mondjuk, h az A állításnak a B állítás szükséges és elégséges feltétele (A akkor és csak akkor igaz, amikor B)
ez azt jelenti, h A és B 1szerre igaz, vagyis ekvivalensek (1enértékűek)

Question 17

Thalesz tétel

Answer 17

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk

Question 18

Thalész tétel megfordítása

Answer 18

Ha egy háromszög derékszögű, akkor köré írható körének középpontja az átfogó felezőpontja

Question 19

Thalész tétel és megfordítása összefoglalva

Answer 19

A sík azon pontjainak halmaza, amelyekből egy megadott szakasz derékszög én látszik, a szakaszhoz, mint átmérőhöz tartozó kör, elhagyva belőle a szakasz végpontjait

Question 20

Pitagorasz tétel

Answer 20

Ha egy háromszög derékszögű, akkor a befogók négyzetének összege egyenle az átfogó négyzetével

Question 21

Pitagorasz tétel megfordítása

Answer 21

Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetének összege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű