Primitives Et Equa Diff

Question 1

Qu’est-ce qu’une primitive ?

Answer 1

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C)
On appelle primitive de f toute fonction F C1 telle que F’=f

Question 2

Qu’est-ce que le théorème fondamental de l’analyse ?

Answer 2

Soir a<b, f€C0([a;b], C), F une primitive de f,
Alors ∫<a→b>f(t).dt = F(b) - F(a)

Question 3

Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
Quelle primitive de f s’annule en a, est-elle unique ?

Answer 3

Soit I un intervalle non vide, a€I, f€C0(I,C),
x→∫<a→x>f(t).dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a

Question 4

Qu’est-ce que C0(E,F) avec E et F deux ensembles ?

Answer 4

L’ensemble des fonctions continues sur E à valeurs dans F

Question 5

Que peut-on dire de la différence de deux primitives ?
Justif

Answer 5

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I,C), F1 et F2 deux primitive de f,
Alors F1 - F2 est constante sur I

(F1 - F2)’ = F1’ - F2’, par linéarité de la dérivée,
= f - f
= 0
Donc, I étant un intervalle, F1 - F2 est constante

Question 6

Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :

• 1/(1+x²)
• 1/√(1-x²)
• -1/√(1-x²)
• 1/(a² + x²)
• 1/√(a² - x²)
• ch(x)
• sh(x)

Answer 6

*Arcsin(x/|a|)

Question 7

Quelles sont les primitives (et sous quelles conditions) des fonctions qui à x associent :
- x^n
- a
- x^α
- cos(x)
- sin(x)
- 1/x
- u’/u
- u’×u^α

Answer 7

Question 8

Comment calculer les intégrales des fonctions du type :
x→1/(a.x² + b.x + c), (a, b, c)€R*×R²

Answer 8

On pose Δ=b² - 4ac

• Si Δ>0 :
  Analyse :
  Δ>0, donc a.x² + b.x + c admet deux racines réelles distinctes que l’on note x1 et x2, alors a.x² + b.x + c=a(x-x1)(x-x2)
  Alors, ∀x€R\{x1, x2}, ∃(λ, μ)€R², 1/(a.x² + b.x + c) = λ/(x-x1) + μ/(x-x2)
  déterminer λet μ
  Synthèse :
  Poser λ et μ, introduire x€R\{x1, x2}
  vérifier que λ/(x-x1) + μ/(x-x2) = 1/(a.x² + b.x + c)
  écrire l’égalité des intégrales
  reconnaitre la primitive de ln
• Si Δ<0 :
  mettre a.x² + b.x + c sous forme canonique
  Donner l’égalité des primitives
  Sortir le 1/a
  Sortir des facteurs pour reconnaitre une primitive d’Arctan

Question 9

Comment calculer une primitive d’une composée trigonométrique ?

Answer 9

• Tout linéariser
• Transformer les produits en sommes par les formules trigo
• Calculer la somme des intégrales

Question 10

Qu’est ce qu’une fonction C1 ?

Answer 10

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), on dit que f est C1 de I sur C si f est dérivable sur I et que f’€C0(I, C)

On note C1(I, C) l’ensemble des fonctions C1 de I sur C

Question 11

Qu’est-ce que l’intégration par parties ?

Answer 11

Soit [a;b] un intervalle de R, a<b, (f;g)€C1(I, C)², alors :
∫<a→b>f’(t)×g(t).dt = [f(t)×g(t)] - ∫<a→b>g’(t).f(t).dt

Question 12

Comment procéder à un changement de variable dans une intégrale ?

Answer 12

1. Dire le changement de variable que l’on va effectuer, préciser que c’est une bijection de classe C1 (lorsque ce n’est pas évident)
2. Exprimer la nouvelle variable en fonction de l’ancienne et calculer pour les bornes.
3. Dans l’expression, remplacer l’ancienne variable par l’expression avec la nouvelle variable
4. Différentier comme en physique pour le d

Ex :

Question 13

Que sont les règles de Bioche ?

Answer 13

Pour savoir quel changement de variable effectuer quand on a des fonctions trigonométriques ?

• Si l’expression est invariante par t → -t, changement de variable u=cos(t)
• Si l’expression est invariante par t → π - t, changement de variable u=sin(t)
• Si l’expression est invariante par t → π + t, changement de variable u=tan(t)

Question 14

Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Answer 14

C’est une équation fonctionnelle (qui fait intervenir une fonction et ses dérivées)

Question 15

Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire

Answer 15

Une équation différentielle qui fait intervenir une combinaison linéaire d’une fonction et de ses dérivées (sans puissances).

Question 16

Qu’est-ce que le principe de superposition des solutions ?

Answer 16

Soit g une fonction deux fois dérivable sur I, (a;b;c)€C0(I, R)³ et (s1;s2)€C0(I, R)²,
Toute solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 + s2 est la somme d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s1 et d’une solution de a.g’’ + b.g’ + c.g = s2

Question 17

Comment démontrer les solutions de y’ + a.y = 0 ?

Answer 17

• Multiplier par exp(ax)
• Remarquer la dérivée d’un produit
• En déduire que ce produit est constant
• Isoler y

Question 18

Quelles sont les solutions de y’ + a.y = 0 ? Avec a une fonction

Answer 18

x → C.exp(-A(x)), A une primitive de a et C€R

Question 19

Qu’est-ce que le théorème de la variation de la constante

Answer 19

Soit (a;b)€C0(I, R)²,
On pose : y’ + a.y = b,
Les solutions de cette équation sont de la forme : C × y0, avec y0 une solution de l’équation homogène (pour laquelle K=1), et C€C1(I, C) qui vérifie C’ = b/y0

Question 20

Comment déterminer une solution particulière de y’(x) + a(x).y(x) = b(x) par variation de la constante ? Rédaction

Answer 20

On cherche une solution particulière sous la forme y_p : x → y0(x).c(x) avec c€C1(I, R) vérifiant : ∀x€I : c’(x) = b(x)/y0(x),
déterminer c(x)
Donc y_p : x → c(x) × y0(x) est une solution particulière.

Question 21

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = P(x) ?

Answer 21

On considère l’équation y’(x) + a.y(x) = P(x), avec a€R et P un polynôme de degré n

• Si a≠0, on cherche une solution particulière de la forme x → Q(x) avec Q un polynôme de degré n
• Si a=0, on cherche une solution particulière de la forme x → x × Q(x) avec Q un polynôme de degré n

Question 22

Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + α.y(x) = P(x) ? α€R

Answer 22

On cherche une solution particulière de la forme x → forme d’un polynôme de même degré que P
mettre le polynôme dans l’équation pour déterminer ses coefficients par identification
Donc x → … est une solution particulière de l’équation

Question 23

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²

Answer 23

• Si α≠-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×exp(α.x)
• Si α=-a, on cherche une solution particulière y_p de la forme y_p(x)=b×x×exp(α.x)

Question 24

Comment rédiger pour déterminer une solution particulière de y’(x) + a.y(x) = exp(α.x) ? (a;α)€R²

Answer 24

On cherche une solution particulière y_p : x → t × exp(αx), t€R,
Écrire équa diff avec y_p
Remplacer y_p(x) par t × exp(αx)
Déterminer t
Donner l’expression de y_p

Donc, y = y0 + y_p

Question 25

Qu’est-ce qu’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Answer 25

C’est une équation du type : y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = f(x) Avec (a;b)€C2, I un intervalle non vide, f€C0(I, R), y€R^I deux fois dérivable

Question 26

Qu’est-ce que l’équation caractéristique d’une équation différentielle du deuxième ordre ?

Answer 26

r² + a.r + b = 0

Question 27

Comment résoudre l’équation homogène d’une équation différentielle du deuxième ordre dans C ?

Answer 27

On note Δ le discriminant de l’équation caractéristique : - Si Δ=0, on appelle r la solution de l’équation caractéristique dans C. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme : ∀x€R, y(x)=(A.x + B)×exp(r.x) - Si Δ≠0, on appelle r1 et r2 les racines de l’équation caractéristique dans C. Alors, les solutions sont de la forme y(x) = A×exp(r1.x) + B×exp(r2.x), (A;B)€R²

Question 28

Comment résoudre l’équation homogène d’une équation différentielle du deuxième ordre dans R ?

Answer 28

On note Δ le discriminant de l’équation caractéristique : - Si Δ>0, on appelle r1 et r2 les deux racines réelles de l’équation. Alors ∃(A;B)€R², ∀x€R, y(x) = A×exp(r1.x) + B×exp(r2.x) - Si Δ=0, on appelle r la solution de l’équation caractéristique dans R. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme : ∀x€R, y(x)=(A.x + B)×exp(r.x) - Δ<0, on note r1 = a+i.b, r2 = a-i.b = /r1, alors ∃(A;B)€R² tel que : ∀x€R, y(x)=exp(a.x) × (A.cos(b.x) + B.sin(b.x))

Question 29

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = P(x), avec (a;b)€C² et P(x) un polynôme de degré n ?

Answer 29

1. Si b≠0, on cherche une solution particulière de la forme d’un polynôme de degré n 2. Si b=0 et a≠0, on cherche une solution particulière de la forme de x.Q(x), Q(x) un polynôme de degré n. 3. Si b=0 et a=0, on cherche une solution particulière de la forme x².Q(x), Q(x) un polynôme de degré n.

Question 30

Quelle est la méthode pour déterminer une solution particulière de y’’(x) + a.y’(x) + b.y(x) = exp(α.x), avec (α;a;b)€C³ ?

Answer 30

- Si α n’est pas une racine de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×exp(α.t) - Si α est racine simple de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×t×exp(α.t) - Si α est racine double de l’équation caractéristique, on cherche y_p de la forme t → k×t²×exp(α.t)

Question 31

Qu’est-ce que le théorème de Cauchy ? Son addendum ?

Answer 31

Soit I un intervalle non vide, f€C0(I, C), (a;b)€R², y€C^I deux fois dérivable, t0€I, (λ;μ)€C². - Le système { y’’ + a.y’ + b.y = f(t), ∀t€I, y(t0)=λ y’(t0)=μ } admet une unique solution Addendum : - Le système { y’(t) + a(t)×y(t) = f(t) y(t0) = λ } admet une unique solution.

Question 32

Quelle technique permet de calculer simplement l’intégrale d’un polynôme sur un autre polynôme de même degré ?

Answer 32

Faire apparaître le polynôme du dessous en haut en faisant +P-P pour avoir quelque chose de la forme 1+…

Question 33

Soit y une fonction deux fois dérivable, (a;b;c;d;ω)€R^5, de quelle forme est la solution particulière de l’équation y’’ + a.y’ + b.y = c.cos(ω.x) + d.sin(ω.x)

Answer 33

Si +-i.ω n’est pas racine de l’équation caractéristique : - x → λ.cos(ω.x) + μ.sin(ω.x), avec (λ;μ)€R² Si +-i.ω est racine de l’équation caractéristique : - x → x(λ.cos(ω.x) + μ.sin(ω.x)), avec (λ;μ)€R²

Question 34

A quoi faut-il faire attention dans une intégration par parties ?

Answer 34

Il faut expliciter les deux applications et dire qu’elles sont C1

Question 35

Donner les primitives de ln

Answer 35

x → x × (ln(x) - 1) + C

Question 36

Donner les primitives de tan et tanh

Answer 36

x → - ln|cos(x)| + C et x → ln|ch(x)| + C

Question 37

Comment réécrire 1/cos², 1/sin², 1/ch² et 1/sh² pour calculer leurs primitives ?

Answer 37

Question 38

Que vaut la primitive de x → (x + a)^n ?

Answer 38

x → (x + a)^(n+1) / (n+1)