t-Tests

Question 1

t-Tests

Answer 1

• t-Tests gehören zu den einfachsten und meist verbreiteten Verfahren der Inferenzstatistik
• t-Tests treffen Aussagen über Mittelwerte:
  
  • ob sich ein Populationsmittelwert von einem vorgegebenen Wert unterscheidet
  • ob sich zwei Populationsmittelwerte signifikant unterscheiden (dabei macht es einen Unterschied, ob die entsprechenden zwei Stichproben abhängige oder unabhängige Messungen enthalten)
• t-Tests gehören zu den parametrischen Verfahren, sind also an gewisse Voraussetzungen gebunden:
  
  • die abhängige Variable muss intervallskaliert sein (Mittelwerte können erst ab Intervallskalenniveau berechnet werden)
  • die Werte in der Population müssen normalverteilt sein
• t-Test für unabhängige Stichproben setzt zusätzlich noch voraus, dass
  
  • die Messungen (stochastisch) unabhängig voneinander sind
  • die Varianzen der Populationen gleich sind

Question 2

Die t-Verteilung

Answer 2

• Auch studentsche t-Verteilung oder Student-t-Verteilung genannt
• William S. Gosset (a.k.a. Student) zeigte 1908, dass für kleine Stichprobengrößen die Stichprobenverteilung systematisch von der Standardnormalverteilung (z) abweicht. Die t-Verteilung beschreibt die Stichprobenverteilung dann besser
• Im Unterschied zur z-Verteilung ist die t-Verteilung abhängig von der Stichprobengröße (für n gegen unendlich geht die t-Verteilung in die z-Verteilung über). Allerdings rechnet man nicht mit n selbst, sondern mit Freiheitsgraden
• In der t-Verteilung sind extreme Werte etwas wahrscheinlicher als in der z-Verteilung

Schritt für Schritt:

• t ist nicht nur von der Stichprobenverteilung der Mittelwerte, sondern auch von der Stichprobenverteilung der Standardabweichungen abhängig
• Die Stichprobenverteilung der Standardabweichungen bzw. Varianzen folgt der Chi-Quadrat-Verteilung (nur positive Werte)
• Die Chi-Quadrat-Verteilung ergibt sich aus der Summe von n quadrierten normalverteilten Zufallsvariablen
• Bei geringer Anzahl an df ist die Verteilung rechtsschief
• Bei hoher Anzahl an df greift der zentrale Grenzwertsatz und die Chi-Quadrat-Verteilung nähert sich der Normalverteilung an
• t lässt sich als Quotient aus z und Chi-Quadrat darstellen

Question 3

t-Test für eine Stichprobe

Answer 3

Voraussetzungen:

• Intervallskalenniveau
• Normalverteilung in der Population​

Vorgehen:

• Standardfehler = geschätzte Populationsvarianz geteilt durch Wurzel(n)
• Prüfgröße (der tatsächliche t-Wert) =
  
  • die Differenz des Mittelwerts meiner Stichprobe vom in der H0 postulierten Populationsmittelwert (und damit auch dem postulierten Mittelwert der Stichprobenverteilung) in Standardfehlern
• df = n - 1
• Danach in der t-Verteilung nachsehen, welcher t-Wert meinem Kriterium alpha entspricht
• Prüfgröße (tatsächlichen t-Wert) und kritischen t-Wert vergleichen
• ist die Prüfgröße weiter vom H0-Populationsmittelwert entfernt als der kritische Wert (bzw in die richtige Richtung extremer) –> signifikant!

Achtung! Ist die Alternativhypothese gerichtet (einseitiger t-Test) oder ungerichtet (zweiseitiger t-Test)?

• alpha 5% einseitiger Test –> bei 0,95 nachsehen
• alpha 5% zweiseitiger Test –> alpha wird auf beide Seiten aufgeteilt! –> bei 0,975 nachsehen

Question 4

t-Test für unabhängige Stichproben

Answer 4

z.B. Vergleich zweier Stichproben womöglich unterschiedlicher Größe; between-subjects-design

Voraussetzungen:

• Intervallskalenniveau
• Normalverteilung in der Population
• Unabhängigkeit der Gruppen
• Gleiche Varianzen in den Populationen

Vorgehen:

• Die geschätzten Populationsvarianzen beider Stichproben jeweils einzeln bestimmen. Danach…
• Standardfehler = eine mit der Stichprobengröße gewichtete Summe der einzelnen Standardfehler der beiden Mittelwertsverteilungen
• Prüfgröße (der tatsächliche t-Wert) =
  
  • Differenz der Mittelwerte minus die Differenz der Populationsmittelwerte in der Nullhypothese geteilt durch den Standardfehler
• df = nA + nB – 2

Woher weiß ich überhaupt, dass die Varianzgleichheit erfüllt ist? –> F-Test oder Levene-Test

Falls Varianzgleichheit nicht erfüllt –> t-Test für heterogene Varianzen durchführen

• Anpassung der Freiheitsgrade durch Welch-Korrektur
• Dadurch niedrigere Anzahl an df –> konservativerer Test durch relativ höheren kritischen Wert

Question 5

t-Test für abhängige Stichproben

Answer 5

Within-subjects-design. Die beiden Messwertpaare korrelieren häufig und n ist bei beiden Stichproben gleich groß.

Voraussetzungen:

• Intervallskalenniveau
• Normalverteilung der Differenzen in der Population

Vorgehen:

• Die Addition der beiden Standardfehler von unabhängigen Mittelwertziehungen ist hier nicht okay. Der Standardfehler würde überschätzt werden (bei positiver Korrelation)
• Stattdessen für jedes einzelne Wertepaar die Differenz bilden und einfach mit dieser soeben konstruierten dritten Variable exakt so vorgehen wie beim t-Test für eine Stichprobe