Welche beiden Formen gibt es um ein Vector Field zu definieren?
- Analytic form, nur sehr selten gegeben
- Discrete form, kommt häufiger vor
Wofür stehen die partiellen Ableitungen?
Für die momentane Änderungsrate vom Vektor in Richtung der angegebenen Achse
Was macht die Jacobi Matrix?
Die Jacobi Matrix beschreibt die Änderung des Vector Fields in (x,y)
Wie kann man formal die Divergence bestimmen?
Die Divergence ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen der Jacobi Matrix
Was ist die Divergence praktisch?
Die Divergence ist ein lokales Maß für den Abfluss eines Vektorfeldes an einem bestimmten Punkt und hilft bei der Klassifizierung von Quellen und Senken
Wie kann man formal die Vorticity (dt. Wirbelstärke) bestimmen?
Die Vorticity ist definiert als die Krümmung (Rotation) eines Vektorfeldes, d.h. sie ist die Differenz der Elemente der Gegendiagonalen der Jacobi Matrix
Was ist die Vorticity praktisch?
- Vorticity ist das lokale Maß der Krümmung eines Vektorfeldes in einem bestimmten Punkt
- Vorticity hat nichts mit dem globalen Verhalten des Vektorfeldes zu tun
Was ermöglicht die Taylor Entwicklung?
Die Taylor Entwicklung ermöglicht eine Annäherung beliebiger Funktionen durch Polynome
Was sind critical points?
Critical points oder auch Fixpoints sind Punkte in einem Vektorfeld wo der flow gleich 0 ist
Wovon hängen die lokalen Eigenschaften des flow in unmittelbarer Nähe des critical points ab?
Nur von der Jacobi Matrix
Wie lässt sich jede Matrix zusammensetzen?
Jede Matrix lässt sich zusammensetzen aus der Summe einer symmetrischen und einer asymmetrischen Matrix
Was ist der Eigenwert einer nxn-Matrix?
Der Eigenwert einer Matrix ist ein scalar Wert lambda, der folgende Gleichung löst: Ax=lambdax
Wie kann man die Eigenwerte berechnen?
Die Eigenwerte kann man mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
-> Minus lambda auf der Diagonalen der Matrix
Was ist wichtig über die Vielfachen des Eigenvektors?
Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist auch ein Eigenvektor des gleichen Eigenwertes
Wie lautet der Ansatz zur Bestimmung der Topologie von critical points?
- Bestimmung der Jacobi Matrix für jeden critical point
- Bestimmung der Eigenwerte der Jacobi Matrix und Kategorisierung der Topologie
- Bestimmung der Eigenvektoren für jeden Eigenwert
Welche Rollen spielen reelle Eigenvektoren?
- Beispielmatrizen hatten die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen als Eigenvektoren
- Die Eigenvektoren beliebiger Jacobi Matrizen bestimmen die Scherung der Koordinatenachsen
Wie kann man vektorwertige Funktionen differenzieren?
- Totales Differntial: Jacobi Matrix
- Richtungsableitung (unter Verwendung der Jacobi Matrix)
- Divergenz: Beschreibt die Intensität von Quellen und Senken
- Krümmung: Beschreibt die Wirbelstärke
Wie kann man die Feldlinien berechnen?
- Bestimmen des Weges des Teilchens, d.h. seine Position in Abhängigkeit von der Zeit
- Man bestimmt diesen Weg so, dass er in jedem Punkt tangential zum Vektorfeld ist
Was ist Vorteil der Implicit Euler Method?
Numerisch stabil aber nicht genauer als Explicit Euler
Was ist der Nachteil der Implicit Euler Method?
Kann sehr rechenaufwendig sein, wenn man einen iterativen Ansatz verwendet, um X_{i-1} zu berechnen
Was sind die Eigenschaften der Implicit Euler Method?
- First order consistent
- Numerisch stabil für große Schrittweiten
Was sind die Eigenschaften der Explicit Euler Method?
- Einfach und schnell zu berechnen
- First order consistent
- Numerisch stabild für kleine Schrittweiten
Was sind die Eigenschaften der Explicit Heun Method?
- Einfach zu berechnen
- Second order consistent
- Numerisch stabil für kleine Schrittweiten
Was sind die Eigenschaften der Implicit Heun Method?
- Braucht rechenaufwendige iterative Berechnungen
- Second order consistent
- Numerisch stabil für größere Schrittweiten
