Utilités de la distribution de probabilité
- Indique probabilités d’apparition de toutes les valeurs possibles d’une variable théorique
- Sert calcul direct de probabilité d’un évènement si connait distribution
- Lors tests statistiques paramétriques, utilisée pour calculer probabilité que données soient conformes à une hypothèse initiale
Principe de la loi des grands nombres
Effectif d’un échantillon devient grand quand :
- Fréquences relatives tendent vers probabilités
- Distributions de fréquences relatives observées tendent vers distributions de probabilités
2 fonctions principales d’une loi de probabilité
Les différentes valeurs que peut prendre variable aléatoire suivent distribution de probabilité par fonction de densité et fonction de répartition
Utilité de la fonction de densité de probabilité f(x)
- Fournit probabilité qu’une variable aléatoire prenne valeur donnée x
- Ensemble valeurs pour tous les x donne densité de probabilité (courbe)
- Pour distribution discrète = fonction de masse
Utilité de la fonction de répartition F(x)
- Fournit probabilité qu’une variable aléatoire soit plus petite ou égale à une valeur donnée x
Caractéristiques de la distribution binomiale B(n, p)
- Pour variable qualitative binaire
- Distribution discontinue qui donne probabilité qu’un évènement de probabilité p se réalise x fois lors de n tentatives indépendantes et identiques
- n = nb essais, effectif
- p = probabilité d’un des 2 évènements (l’autre = q = 1 - p)
- x = nb succès, valeur que peut prendre variable aléatoire x
- Espérance (= moyenne µ) : E(X) = n * p
- Variance (= σ^2) : Var(X) = n * p * q
- Coefficient d’asymétrie : g1 = (q - p) / sqrt(n * p * q)
Valeurs que peut prendre le coefficient d’asymétrie d’une distribution binomiale
- Si p < q alors g1 > 0 -> asymétrie à droite
- Si p = q alors g1 = 0 -> symétrie
- Si p > q alors g1 < 0 -> asymétrie à gauche
Fonction de masse d’une variable aléatoire X qui suit la distribution binomiale
P(X = x | n, p) = Cn^x * p^x*q^(n-x)
où Cn^x = n! / [x! (n - x)!] = nombre de combinaisons uniques de x objets (ou succès) que l’on peut former à partir d’un ensemble de n objets (ou essais) = termes successifs du développement du binôme de Newton (p + q)^n = valeurs obtenues dans pyramide de Pascale
Caractéristiques de la distribution de Poisson P (λ)
- Loi pour variables binaires lorsque p est près de 0 et n est élevé
- λ = µ = σ^2 = np
- Espérance : E(X) = np = λ
- Variance : Var(X) = npq = λ
- Coefficient d’asymétrie : g1= (q - p) / sqrt(n * p * q) = 1/sqrt(λ)
Caractéristiques de la loi normale N (μ, σ)
- Limite de la loi binomiale (quand n est très grand) pour variable continue
- Sa moyenne définit forme et écart-type définit distribution
- Pour distributions discrètes, calcule P(X < x) en faisant somme des probabilités de chaque classe sous x
- Pour distributions continues, probabilité d’une valeur donnée précise est 0 en réalité, calcule P(X < x) en faisant aire sous la courbe (intégrale)
Caractéristiques de la loi normale centrée-réduite
- N(0,1) où moyenne = 0 et écart-type = 1
- zi = (xi - μx) / σx
- Courbe symétrique par rapport à z = 0
- Si |z| augmente, f(z) décroit
- f(z) toujours positif
- Maximum courbe quand z = 0,399
- Aire total sous la courbe = 1
Types de transformations linéaires
Transformation linéaire de x en y
- Translation : ajouter/soustraire constante b à tous les x
- Expansion : multiplier/diviser tous les x par constante a
Principes du centrage et de la réduction des variables
- Transformation linéaire qui permet d’exprimer des variables différentes sur une échelle commune, en les débarrassant de leurs unités physiques
- Centrage : xi - moyenne des xi
- Réduction : xi / sx
- Données centrées réduites : zi = (xi - moyenne des xi) / sx
Caractéristiques de la loi du khi carré χ^2 (ν)
- Détermine distribution de nombreux estimateurs et statistiques
- Dépend taille échantillon
- Permet calculer intervalle de confiance sur la variance et test de khi carré entre autres
- Tables donnent généralement aire sous courbe à droite de la valeur de khi carré (valeur critique α)
Caractéristiques de la loi Fisher-Snedecor F (ν1, ν2)
- Rapport de 2 variables aléatoires distribuées selon khi carré, chacune divisé par ses degrés de liberté
- Table donne aire à droite de la valeur de F qui correspond à valeur critique (α)
Caractéristiques de la loi de Student T (ν)
- Une variable aléatoire obéissant au khi carré et une variable aléatoire indépendante obéissant à la loi normale centrée réduite
- Table de T est bilatérale = fournit valeurs à l’extérieur de l’intervalle (-t(α/2), t(α/2))
