Intégrales À Paramètre

Question 1

Exercice de rigueur

Fais le parfaitement !

Answer 1

Question 2

Exercice

Calculer

Answer 2

Question 3

Cours

Donne le théorème de convergence dominée (démo hors programme)

Answer 3

Il faut pas que l’intervalle dépende de n !! Sinon on pose une autre fonction avec la technique de l’indicatrice

Pareil si on fait une limite en x et que l’intervalle dépend de x

On a besoin de la majoration de |fₙ| que pour n assez grand !

Question 4

Exercice

Answer 4

Question 5

C’est quoi le théorème d’intégration d’une série de fonctions terme à terme

Answer 5

Quand on utilise le DSE d’un truc pour exprimer ∫f = ∫Σfk, le théorème donne directement ∫f CV

Pas besoin du fait que la série soit intégrable

Question 6

Exercice

Calcule

Answer 6

Question 7

Exercice

Calcule

Answer 7

Question 8

Γ’ convexe (a ficher)

Answer 8

Question 9

Exercice

Montre la continuité

Answer 9

Question 10

Démontre le théorème de continuité des intégrales à paramètres

Answer 10

Question 11

Tu dis quoi pour conclure quand tu veux montrer qu’une integrale à paramètres est contenue et que t’as réduit l’intervalle

Answer 11

Donc, f est définie et continue sur tout [a, +∞[ ∀a > 0, donc que R⁺*

Question 12

Donne le théorème de classe C¹ des intégrales à paramètres

Answer 12

Pas oublier de dire que la dérivée est cpm !! Et continue en x

Question 13

2. Peut on calculer l’integrale de dirichlet à partir de ça ?

Answer 13

Question 14

Montre la continuité en 0 de

A REPRENDRE

Answer 14

Question 15

C’est quoi le théorème de classe Cᵏ ?

Answer 15

Exactement le même que C¹ mais on remplace par des dérivées kiemes

Question 16

A REPRENDRE

Answer 16

Question 17

Exercice

Answer 17

Question 18

Question réflexe

Le fait pas mais réfléchis à l’exo et donne les points ou faire gaffe

Answer 18

• f(xⁿ) → f(0) pas directement 0
• |f(xⁿ)| ≤ ||f|| **on est sur un segment, on peut majorer par une constante et le sup existe par le TBA

Question 19

Exercice

Calcule Γ(x)

Answer 19

Question 20

Comment on fait pour inverser série et intégrale quand la série est alternée ? Explique plus généralement cette nouvelle méthode

Answer 20

Question 21

Comment on fait pour la deuxième ?

Answer 21

Question 22

Exercice

Answer 22

Question 23

Exercice

Calcule

Answer 23

Question 24

Exercice

Answer 24

Question 25

Exercice Trouve un équivalent en +∞

Answer 25

Question 26

Trouve un équivalent en +∞

Answer 26

Question 27

Cours Comment utiliser les théorèmes des intégrales à paramètre sur un segment ?

Answer 27

Prendre pour la majoration la **borne supérieure de f**. On peut aussi simplement **vérifier la CVU**

Question 28

Exercice important

Answer 28

Question 29

Exercice Montre que l'intégrale est bien définie

Answer 29

Question 30

Exercice

Answer 30

Question 31

Exercice

Answer 31

Question 32

Question réflexe Comment tu calculerai ?

Answer 32

Question 33

Exercice

Answer 33

Question 34

Exercice classique Méthode de calcul de l'intégrale de Gauss

Answer 34

Question 35

Exercice Calcule la limite quand x → ∞

Answer 35

Question 36

Exercice classique

Answer 36

Question 37

Exercice

Answer 37

Question 38

Simplifie cette expression sachant que ϕ est T-periodique

Answer 38

Question 39

T'as ∫Σuₙ , tu voudrais inverser, qu'est ce que tu regarde en premier ?

Answer 39

Si l'intégrale n'est pas généralisée, c'est un autre théorème !! • x → Σuₙ(x) est continue (**à prouver**) • Σuₙ → f uniformément **Le théorème donne la convergence de Σ ∫ uₙ**'

Question 40

Question réflexe On veut montrer que c'est égal à zêta(2), tu commences comment ?u

Answer 40

Question 41

Question réflexe Existence ?

Answer 41

ON MET DES VA PARTOUT !! (Quand on fait des équivalents, on travaille sur des trucs positifs)

Question 42

Question réflexe Commence le raisonnement pour trouver un équivalent

Answer 42

t = u/n puis TCD

Question 43

Question réflexe Tu veux majorer par un truc intégrable

Answer 43

Question 44

Question réflexe Pour trouver un équivalent, c'est quoi les deux méthodes ? u

Answer 44

• mettre en avant le terme qui domine (ex : si y a tⁿ dans ∫(0,1), on fait u = tⁿ) • reconnaître une intégrale connue en faisant sortir du n ou 1/n

Question 45

Answer 45

Question 46

Exercice

Answer 46

Question 47

Exercice important à ficher

Question 48

Exercice Montrer que :

Answer 48

**bien avec l'integrabilité de f**

Question 49

Question réflexe C'est quoi les deux méthodes pour inverser intégrale et fonction fₙ ?

Answer 49

1ere est pour un segment 2eme est pour un intervalle

Question 50

Question réflexe C'est quoi les 3 méthodes permettant d'inverser serie de fonctions et intégrale ?

Answer 50

Question 51

Exercice On admettra que*

Answer 51

**c'est un segment, il faut penser à encadrer !!**

Question 52

Exercice Comment tu t'y prendrais pour la calculer ?

Answer 52

Avec arctan

Question 53

Révision On te dit f → (∞) 0 et g → (∞) 0. En déduire f et g

Answer 53

On écrit la forme général en cos et sin

Question 54

Révision On donne que la première vaut π/2, trouve la seconde

Answer 54

Question 55

Révision Montre qu'elle est bien définie

Answer 55

Question 56

Révision Quel théorème garantit la convergence de l'intégrale ?

Answer 56

Le théorème d'interversion série intégrale : si t'exprime le terme à l'intérieur sous forme de DSE et que t'inverses c'est good, l'intégrale est convergente

Question 57

Révision On a montré que Γ était C°° sur R⁺*. Montre que Γ(x+1) = xΓ(x) et déduis en un équivalent de Γ en 0.

Answer 57

On fait par IPP puis on a Γ(x+1) ∼ Γ(1) **par continuité pas par CVD !!** D'où 1/x

Question 58

Révision Donne le récapitulatif des deux théorèmes qui permettent d'intervertir une série et une intégrale

Answer 58

*Pour les intégrables généralisées * **Convergence dominée** • fₙ intégrables sur I • convergence simple et régularité de la somme • domination indépendante de n des sommes partielles par une fonction intégrable **Integration terme a terme** • fₙ intégrables sur I • convergence simple et régularité de la somme • convergence de Σ ∫ |fₙ| *Pour les intégrales sur un segment* • fₙ sont continues sur I • Σ fₙ convergence uniformément

Question 59

Révision Juste la 2

Answer 59

Question 60

Révision :

Answer 60

On majore pas avec x > 0 par x = 0 !!

Question 61

Révision :

Question 62

Révision très bien !! On peut le faire de deux méthodes

Answer 62

1. On fait + t - t et on a du ln(3) qui pop et le deuxième intégrale de majoré près de 0 en majorant son terme général qui → 0 2. On fait une IPP qui nous donne une intégrale de cos(t)/t puis on arrive au résultat avec un changement de variable

Question 63

Révision très bien !!!

Answer 63

Question 64

Révision Que dire de l'intégrale de sh(t) de -infini à +infini ? Expliquer l'erreur

Answer 64

Question 65

Revision Comment on traite une intégrale de Fresnel

Answer 65