Probabilites

Question 1

Donne l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et ses hypothèse

Answer 1

X une variable aléatoire réelle discrète sur Ω, de variance finie. Soit ε > 0. Alors :

ℙ( |X - E(X)| ≥ ε ) ≤ V(X)/ε²

Question 2

Donne l’inégalité de Markov et ses hypothèses

Answer 2

X une variable aléatoire réelle positive discrète sur Ω, d’espérance finie. Soit ε > 0. Alors :

ℙ( X ≥ a ) ≤ E(X)/a

Question 3

Cours

Définie une probabilité et un espace probabilisé

Answer 3

Question 4

Cours

1. P(∅)
2. P(∪Ak) pour des ensembles deux à deux disjoints
3. P(Abarre) = 1 - P(A)
4. Croissance de la proba
5. Grassman
6. P(A\B) = P(A) - P(A ∩ B)

Answer 4

Question 5

Cours

Qu’appelle t on un événement négligeable, presque sûr ?

Answer 5

P(A) = 0
P(B) = 1

Question 6

Cours

C’est quoi un système complet d’événements ? Intuitivement ?

Answer 6

Question 7

Cours

Dans ce chapitre, qu’est ce qu’on admet sur la commutative convergence d’une série ?

Answer 7

Question 8

Cours

Si Ω est fini, déterminer le nombre maximal d’éléments d’une tribu 𝒜

Answer 8

C’est le nombre d’éléments des parties de Ω donc 2ⁿ

Question 9

Cours

C’est quoi intuitivement une tribu ?

Answer 9

C’est un ensemble (et pas une liste pour laquelle l’ordre des éléments compte) ou y a plein de parties de Ω qui vérifient les axiomes

Question 10

Cours

En pratique, quand est ce qu’on a la commutative convergence ?

Answer 10

Si la série converge absolument alors elle est commutativement convergente, en particulier si les termes généraux sont positifs, c’est bon

Question 11

Cours : distribution de probabilités discrètes de Ω

Answer 11

Dans les exos, on va demander : montrer que cette famille définit une unique mesure de probabilité sur (P(omega), omega)

Question 12

Cours

Si on prend une ℙ au pif et une suite d’événements au pif

Answer 12

Question 13

Cours

Qu’est ce qui est nécessaire pour la σ additivité ?

Answer 13

Deux à deux disjoints pas seulement disjoints

Question 14

Cours

Donne les théorèmes de limites monotones (continuité croissante et décroissante)

Answer 14

On prend Bₙ = Aₙ/A>n-1 et par σ additivité on arrive au résultat

Question 15

Cours

Qu’a t on plus généralement sur une forme de continuité de la ℙ ?

Answer 15

C’est un corolaire de la limite monotone mais intuitivement c’est plus grand que ça.

On applique la limite monotone à Bₙ = ∩Ak jusqu’à n

Question 16

Cours

On lance une pièce jusqu’à obtenir face. Montrer que l’événement “obtenir pile à chaque lancer” est négligeable

Answer 16

Question 17

Cours

C’est quoi un système quasi complet d’événements ?

Answer 17

Intuitivement : Un système complet d’événements a des événements négligeables près, genre dans les Ak y a des événements négligeables

Question 18

Cours

Donne l’inégalité de Boole

Answer 18

Démonstration par récurrence

Valable même en cas de divergence

Question 19

Cours

Que peut on dire d’une union dénombrable d’événements négligeables ?

Answer 19

On peut dire pareil d’un inter de presque sûres (on utilise le complémentaire)

Question 20

Exercice

Montre que si on a une famille (A₁,…,Ap) d’événements indépendants, montre que (A₁barre,…,Akbarre,Ak+1,…,Ap) est indépendant.

On pourra commencer par montre que

Answer 20

Question 21

Cours

Qu’appelle t on un événement ?

Answer 21

Un élément de la tribu

Question 22

Cours

Définit la probabilité conditionnelle et montre que c’est une proba

Answer 22

pour P(B) > 0, P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

Question 23

Cours

Donne et donne les éléments de démo de la formule générale pour P(∩Aₙ) de n = 0 à +∞

Answer 23

Par récurrence

Question 24

Cours

Donne la formule de Bayes, sa forme la plus pratique

Answer 24

Question 25

Cours Donne deux définitions de A et B indépendants

Answer 25

Question 26

Cours On a deux événements indépendants. Que dire de l'indépendance des complémentaires de ces événements ?

Answer 26

Question 27

Cours Donne la définition de mutuelle indépendance

Answer 27

Question 28

Exercice : Borel Cantelli 1

Answer 28

Question 29

Exercice

Answer 29

Question 30

Cours Donne la formule générale des probabilités totale avec les hypothèses

Answer 30

Question 31

Cours Donne la définition d'un famille d'événements indépendants

Answer 31

Question 32

Exercice : Borel Cantelli 2

Answer 32

• on commence avec N et on conclut en utilisant les limites monotones

Question 33

Exercice On considère une urne avec p boules blanches et q boules noires. On effectue n tirages avec n ≤ min(p,q) sans remise. Trouver la probabilité d'obtenir pour la première fois une boule blanche au nième tirage

Answer 33

Question 34

Exercice Au départ la souris est en 1. A chaque tour, la souris saute sur un des deux sommets adjacents (w^(j-1) ou w^(j+1)) avec une proba de 1/2. On cherche une relation de récurrence sur PN,k la proba que la souris se trouve en wᵏ a l'instant N

Answer 34

Question 35

Cours Donne les deux types d'indépendance qu'on a et les liens entre eux

Answer 35

Question 36

Exercice En t'appuyant sur des spectres en amplitude et des approximations de fréquences. Comment on retrouve le signal originel ? Quel type de filtre est il nécessaire d'utiliser. On utilise généralement un ordre 2, pourquoi ? Comment trouve t on sa fréquence de coupure ? Quelles 2 équations imposent nos composants ?

Answer 36