Probabilités

Question 1

Cours

Définit une variable aléatoire discrète. La version avec A un ensemble a la place de x

Answer 1

Question 2

Cours

Comment on définit { X ∈ A } et { X = x } ?

Answer 2

Ce sont bien des ensembles, des événements

Question 3

Cours

Donne la définition d’un probabilité. Comment alors lier ça a la sommabilité ?

Answer 3

Question 4

Cours

Que dire de la probabilité d’une union d’évènements disjoints ?

Answer 4

C’est la somme des probabilités mais il faut bien comprendre que c’est grâce au cas infini de la sigma additivité

Question 5

Cours

Donne la formule de Grassmann pour les probabilités. Rappelle comment on la démontre

Answer 5

On repart toujours de la sigma additivité

Question 6

Cours

Donne la définition d’une distribution de probabilité et montre qu’on défini à partir d’elle une mesure de probabilité

Answer 6

Question 7

Cours

Donne la définition d’un système quasi complet d’évènements. Qu’a t on alors sur l’union des Ek ?

Answer 7

La réunion est presque sure sans etre certaine

Question 8

Cours

Donne la définition d’une probabilité uniforme. Qu’a t on alors pour une partie A de Omega ?

Answer 8

Question 9

Cours

Enonce la propriété de continuité croissante

Answer 9

Question 10

Cours

Enonce la propriété de continuité décroissante

Answer 10

Question 11

Cours

Quelle propriété on a en général liant la limite et l’union d’évènements ?

Answer 11

Question 12

Cours

Quelle inégalité très importante on a dans le chapitre ? Ca peut diverger ?

Answer 12

Inégalité de Boole

Oui, si ca diverge, on s’en fout

Question 13

Exercice : Borel Cantelli 1

Answer 13

Question 14

Exercice : Borel Cantelli 2

Answer 14

Question 15

Cours

Donne le théorème des probabilités conditionelles

Answer 15

Question 16

Cours

Donne la formule des probabilités composées

Answer 16

Question 17

Cours

Donne la formule des probabilités totales en rappelant une convention

Answer 17

Question 18

Cours

Donne la formule de Bayes en rappelant les hypothèses

Answer 18

Question 19

Cours

Donne la loi d’une variable aléatoire discrète.

Answer 19

C’est exactement ce qu’on pense. En gros, pour chaque x de X(omega), on regarde la proba sauf que la c’est A ie un ensemble de x

Question 20

Cours

Comment écrire le fait que deux variables aient la même loi ? En quoi elles ne sont alors pas forcément égales ?

Answer 20

Elles sont pas forcément égales car elles peuvent êtres définies sur un espace probabilisé différent

Question 21

Exercice

Donne la loi

Answer 21

Question 22

Exercice

Answer 22

Question 23

Exercice

Explique la différence avec une loi binomiale classique

Answer 23

Dans une loi binomiale, on fixe un nombre n d’essais et on demande y a combien de succès.

Ici, on fixe un nombre m de succès et on demande y a combien d’essais

Question 24

Révision

C’est quoi le complémentaire de A sachant B

Answer 24

Ā sachant B

Question 25

Cours Comment montrer que deux variables aléatoires sont indépendantes ?

Answer 25

On calcule P(X = q, Y = k) = ... et on l'égalise avec un produit d'expression de lois connus, genre on "reconnait" telle loi et on attribue du coup les lois aux deux variables et comme c'est un produit bah c'est good, ca veut dire que la proba de l'intersection c'est bien le produit des probas

Question 26

Exercice à connaître c'est un N à la place du n dans la somme

Answer 26

Question 27

Exercice On donne Gn(x) = ((1+x)/2)^n-1 x Déterminer la loi de Nn sachant qu'elle est dans 1,n

Answer 27