A is regulier
=> det A niet 0
Def A is regulier
A E Rnxn is regulier <=> A bezit een omgekeerde A-1
(dus <=> AA-1 = A-1A = In)
niet regulier
singulier
Stelling 1 + bewijs
A is regulier => det A niet 0
bewijs A regulier <=> A bezit A-1
<=> AA-1 =In
<=> det (AA-1) = det In = 1
<=> det(A*A-1) =1
=> det niet 0
Def adjunctmatrix symbolen
A E Rnxn: A =(aij) dan is adj A = (Aji)
(de matrrix van de cofactoren getransponeerd)
Def adjunctmatrix woorden
De geadjungeerde matrix of adjunctmatrix van een gegeven nxn-matrix is de getransponnerde van de nxn-matrix die verkregen wordt als de elementen gewisseld zijn met hun cofactor.
Stelling 2 + uitleg bewijs
A * adj A = adjA * A = det A * In
A * adj A (cofactoren van andere rij) = scalairematrix van det A rest = 0
Stelling 3
indien det A niet 0 => A-1 bestaat
of A is regulier
En A-1 = 1/ det A * adj A
Besluit stellingen
A regulier det A niet 0
A singulier det A = 0
Eigen adj en Inv eenheidsmatrix
De eenheidsmatrix is zijn eigen inverse en I-1 = I
Bewijs: I*I = I
Eigen adj en Inv inverse van inverse
V A E GLn(R): (A-1)-1 = A
Bewijs: AA-1 = A-1A = I
Eigen adj en Inv inverse van product
V A,B E GLn(R) : (AB)-1 = B-& A-&
bewijs zie foto
