Commutation groep woorden R,+
Het optellen is intending en overall gedefineerd in R.
Het optellen in R is assosiatief.
0 is het neutraal element voor het optellen in R.
Elke reeel metal heeft een tegengestelde voor het optellen in R, nl zijn tegenstander.
Het optellen in R is commutatief.
Commutatieve groep R,+ symbolen
V a,b E R: a + b ER
V a,b ,c E R: (a+b)+c = a+(b+c)
E0ER, V a ER: a+0=a=0+a
Va ER, E!-a E R:a+(-a) =0=(-a)+a
Va,b ER: a+ b = b+a
Eigenschappen vermenigvuldiging in R woorden.
Het vermenigvuldigen is inwendig en overall gedefineerd in R.
Het vermenigvuldigen in R is assosiatief.
1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen in R
Elk reeel metal (verschillend van 0) heeft een tegengestelde in R0, nl zijn omgekeerde.
Het vermenigvuldigen in R is commutatief.
Eigenschappen vermenigvuldigen in R symbolen
Va,b ER: ab ER
Va,b,c ER: (ab)c = a(bc)
E1 ER,VaER: a1 =1=1a
VaER0, E! a-1 ER: aa-1 = 1 = a-1 a
Va,b ER: ab = ba
Eigenschappen I.v.m de distributiviteit in woorden
Het verminigvuldigen is distributief tegenober het optellen in R.
Eigenschappen I.v.m de distributiviteit in symbolen
Va,b,c ER: a(b+c) = ab + ac
Va,b,c ER: (ab)c = ac + b*c
Betekenis eerste 11 eigenschappen
R,+ is een commutatieve groep
R,* is een commutatieve groep
R,+,* is een veld
De commutatieve groep R mxn, + in woorden.
Het optellen van matrices is inwendig en overall gedefineerd.
Het optellen van matrices us assosiatief.
De nulmatrix is het neutraal element bij het optellen van matrices.
Elke matrices heeft een symmetrisch element voor het optellen van matrices,nl zijn tegengestelde.
Het optellen van matrices is commutatieve
De commutatieve groep R mxn, + in symbolen
VA,B ER mxn: A +B ER mxn
V A,B,C ER mxn: A+ (B+C) = (A+B)+ C
E0 ER mxn, VA ER mxn: A+0 = A =0+A
VA ERmxn, E! -A ER mxn: A+(-A) = 0 = (-A)+A
VA,B, ER mxn: A+ B = B+A
Eigenschappen het vermenigvuldigen van een matrices met een reeel getal in woorden.
Het vermenigvuldigen van een matrices met een reeel getal heeff opnieuw een matrix.
Het vermenigvuldigen van een matrix met een reeel getal is gemengd assosiatief.
Hef vermenigvuldigen van een matrix met een reel getal is distributief tegenober het optellen van matrices/ reele getallen.
Het vermenigvuldigen van een matrices met het reel getal 1 heeft als resultaat dezelfde matrix.
R,R mxn,+
Is een reele vectorruimte.
R mxn,+
Is een commutatieve groep
Eigenschappen het vermenigvuldigen van een matrices met een reeel getal in symbolen
V r ER, V AER mxn: r* A ER mxn
V r,s ER V A ER mxn: r(sA) = (rs)A.
V r ER, V a,b E R mxn: r(A+B) = rA + rB
V r,s ER V A ER mxn: (r+s)* R = rA + s A
E 1 ER, V A ER mxn, 1*A = A
Eigenschappen van het vermenigvuldigen van vierkante matrices in woorden
Het vermenigvuldigen van vierkante matrices is inwendig en overall gedefineerd.
Het vermenigvuldigen van vierkante matrices is assosiatief.
De eenheidsmatrix is het neutraal element voor het vermenigvuldigen van vierkante matrices.
Eigenschappen van het vermenigvuldigen van vierkante matrices in symbolen
VA,B ER nxn : AB ER mxn
VA,B,C ER nxn: A(BC) = (AB)C
Eın ER nxn, VA ER nxn: Aın = A = In * A
inverse matrix van een vierkante matrix
De inverse matrix van een gegeven n x n-matrix is het symmetrisch element van de
gegeven matrix t.o.v. de vermenigvuldiging in Rnxn
Def inverse
A¹ is de inverse van A A. A1 = A1. A =|
Nuldelers
Indien voor twee, van de nulmatrix verschillende, vierkante matrices A en B geldt
dat A. B= O of B. A = O, dan noemen wij A en B nuldelers
Eigenschappen i.v.m. het transponeren
van matrices woorden
De getransponeerde van de som van twee matrices is gelijk aan de som van de
getransponeerde matrices.
De getransponeerde van het product van een matrix met een reëel getal is gelijk aan
het product van de getransponeerde matrix met dat getal.
De getransponeerde van het product van twee matrices is gelijk aan het product van
de getransponeerde van de factoren in omgekeerde volgorde.
Eigenschappen i.v.m. het transponeren
van matrices symbolen
VA, B EIR mxn; (A+B)T = AT+ BT
Vr ER: VAER mxn: (r.A)T=r. AT
VA ER mXn, VB ER nxp: (A.B)T = BT*AT
Eigenschappen van de machtsverheffing
van matrices
Indien voor een, van de nulmatrix verschillende, vierkante matrix A geldt dat
A²= A, dan noemen we A een idempotente matrix.
Nilpotente matrices
Indien voor een, van de nulmatrix verschillende, vierkante matrix A een van nul verschillend natuurlijk getal n bestaat waarvoor A” = O, dan noemen we A een nilpotente matrix met index n.
Involutorische matrices
Een vierkante matrix A is involutorisch indien A2 = /
